Karakteristisk funktion (konvex analys)

Inom matematikområdet, känt som konvex analys , är den karakteristiska funktionen för en mängd en konvex funktion som indikerar medlemskapet (eller icke-medlemskapet) av ett givet element i den mängden . Den liknar den vanliga indikatorfunktionen , och man kan fritt konvertera mellan de två, men den karakteristiska funktionen som definieras nedan är bättre lämpad för metoderna för konvex analys.

Definition

Låt $X$ vara en mängd , och låt $A$ vara en delmängd av $X$ . Den karakteristiska funktionen för $A$ är funktionen

$\chi _{A}:X\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$

tar värden i den utökade reella tallinjen som definieras av

$\chi _{A}(x):={\begin{cases}0,&x\in A;\\+\infty ,&x\inte \i A.\end{cases}}$

Samband med indikatorfunktionen

Låt $\mathbf {1} _{A}:X\to \mathbb {R}$ beteckna den vanliga indikatorfunktionen:

$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1,&x\in A;\\0,&x\inte \in A.\end{cases}}$

Om man antar konventionerna som

• för alla $a\in \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ , $a+(+\infty ) =+\infty$ och $a(+\infty )=+\infty$ , förutom $0(+\infty )=0$ ;
• ${\frac {1}{0}}=+\infty$ ; och
• ${\frac {1}{+\infty }}=0$ ;

sedan relateras indikator- och karakteristiska funktionerna av ekvationerna

$\mathbf {1} _{A}(x)={\frac {1}{1+\chi _{A}(x)}}$

och

$\chi _{A}(x)=(+\infty )\left(1-\mathbf {1} _{A}(x)\right).$

Subgradient

Subgradienten för $\chi _{A}(x)$ för en mängd $A$ är tangentkonen för den mängden i $x$ .

Bibliografi

•   Rockafellar, RT (1997) [1970]. Konvex analys . Princeton, NJ: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-01586-6 .