Kanalyta

kanalyta: directrix är en helix , med sina genererande sfärer

röryta: directrix är en helix, med genererande sfärer

röryta: directrix är en helix

Inom geometri och topologi är en kanal eller kanalyta en yta som bildas som höljet av en familj av sfärer vars centra ligger på en rymdkurva , dess riktlinje . Om radierna för de genererande sfärerna är konstanta kallas kanalytan för en röryta . Enkla exempel är:

• höger cirkulär cylinder (röryta, riktning är en linje, cylinderns axel)
• torus (röryta, riktning är en cirkel),
• höger cirkulär kon (kanalyta, direktrix är en linje (axeln), sfärernas radier inte konstanta),
• rotationsyta (kanalyta, riktning är en linje),

Kanalytor spelar en viktig roll i beskrivande geometri, eftersom i fallet med en ortografisk projektion kan dess konturkurva ritas som enveloppen av cirklar.

• Inom tekniskt område kan kanalytor användas för att blanda ytor jämnt.

Kuvert av en penna av implicita ytor

Med tanke på pennan av implicita ytor

$\Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [c_ {1},c_{2}]$ ,

två närliggande ytor $\Phi _{c}$ och $\Phi _{c+\Delta c}$ skär varandra i en kurva som uppfyller ekvationerna

$f({\mathbf {x} },c)=0$ och $f({\mathbf {x} },c+ \Delta c)=0$ .

För gränsen $\Delta c\to 0$ får man ${ \displaystyle f_{c}({\mathbf {x} },c)=\lim _{\Delta c\to \ 0}{\frac {f({\mathbf {x} },c)-f({ \mathbf {x} },c+\Delta c)}{\Delta c}}=0}$ . Den sista ekvationen är anledningen till följande definition.

• Låt $\Phi _{c}:f({\mathbf {x} },c)=0,c\in [ c_{1},c_{2}]$ vara en 1-parameters penna av vanliga implicita $C^{2}$ -ytor ( $f$ är minst två gånger kontinuerligt differentierbar). Ytan som definieras av de två ekvationerna

  $f({\mathbf {x} },c)=0,\quad f_{c}({\ mathbf {x} },c)=0$

är kuvertet för den givna pennan av ytor.

Kanalyta

Låt $\Gamma :{\mathbf {x} }={\mathbf {c} }(u )=(a(u),b(u),c(u))^{\top }$ vara en vanlig rymdkurva och $r(t)$ a $C^ {1}$ -funktion med $r>0$ och $|{\dot {r}}|<\|{\dot {\mathbf {c} }}\|$ . Det sista villkoret innebär att kurvans krökning är mindre än motsvarande sfärs. Kuvertet för 1-parameters penna av sfärer

$f({\mathbf {x} };u):={\big \|}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c} }(u){\big \|}^{2}-r^{2}(u)=0$

kallas en kanalyta och $\Gamma$ dess riktning . Om radierna är konstanta kallas det en röryta .

Parametrisk representation av en kanalyta

Kuvertets skick

$f_{u}({\mathbf {x } },u)=2{\Big (}-{\big (}{\mathbf {x} }-{\mathbf {c}}(u){\big )}^{\top }{\dot { \mathbf {c} }}(u)-r(u){\dot {r}}(u){\Big )}=0$

av kanalytan ovan är för valfritt värde på $u$ ekvationen för ett plan, som är ortogonal mot tangenten ${\dot {\mathbf {c} }}(u)$ i riktningen. Därför är kuvertet en samling cirklar. Denna egenskap är nyckeln för en parametrisk representation av kanalytan. Cirkelns centrum (för parameter $u$ ) har avståndet $d:={\frac {r{\dot {r}}}{ \|{\dot {\mathbf {c} }}\|}}<r$ (se villkoret ovan) från mitten av motsvarande sfär och dess radie är ${\sqrt {r^ {2}-d^{2}}}$ . Därav

• ${\mathbf {x} }={\mathbf {x} } (u,v):={\mathbf {c} }(u)-{\frac {r(u){\dot {r}}(u)}{\|{\dot {\mathbf {c} } }(u)\|^{2}}}{\dot {\mathbf {c} }}(u)+r(u){\sqrt {1-{\frac {{\dot {r}}(u )^{2}}{\|{\dot {\mathbf {c} }}(u)\|^{2}}}}}{\big (}{\mathbf {e} }_{1}( u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )},$

där vektorerna ${\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}$ och tangentvektorn ${ \dot {\mathbf {c} }}/\|{\dot {\mathbf {c} }}\|$ utgör en ortonormal bas, är en parametrisk representation av kanalytan.

För ${\dot {r}}=0$ får man den parametriska representationen av en röryta :

• ${\mathbf {x} }={\mathbf {x} }(u,v):={\mathbf {c} }(u)+r{\big (}{\mathbf {e} }_ {1}(u)\cos(v)+{\mathbf {e} }_{2}(u)\sin(v){\big )}.$

rörknuta

kanalyta: Dupin cyklid

Exempel

a) Första bilden visar en kanalyta med

1. helixen $(\cos(u),\sin(u),0.25u),u\in [0 ,4]$ som riktlinje och
2. radiefunktionen $r(u):=0,2+0,8u/2\pi$ .
3. Valet för ${\mathbf {e} }_{1},{\mathbf {e} }_{2}$ är följande:

${\mathbf {e} }_{1}:=( {\dot {b}},-{\dot {a}},0)/\|\cdots \|,\ {\mathbf {e} }_{2}:=({\mathbf {e} }_ {1}\ gånger {\dot {\mathbf {c} }})/\|\cdots \|$ .

b) För den andra bilden är radien konstant: $r(u):=0,2$ , dvs kanalytan är en röryta.

c) För 3. bilden har rörytan b) parametern $u\in [0,7.5]$ .

d) 4. bilden visar en rörknuta. Dess riktlinje är en kurva på en torus

e) Bilden 5 visar en Dupin-cyklid (kanalyta).

•   Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952). Geometry and the Imagination (2:a uppl.). Chelsea. sid. 219 . ISBN 0-8284-1087-9 .

externa länkar

• M. Peternell och H. Pottmann: Computing Rational Parametrisations of Canal Surfaces