Jordan och Einstein ramar

Lagrangian i skalär-tensorteorin kan uttryckas i Jordan-ramen där skalärfältet eller någon funktion av det multiplicerar Ricci-skalären , eller i Einstein - ramen där Ricci-skalären inte multipliceras med skalärfältet. Det finns olika transformationer mellan dessa ramar. Trots att dessa ramar har funnits under en tid har det diskuterats huruvida endera, båda eller ingen av ramarna är en "fysisk" ram som kan jämföras med observationer och experiment.

Christopher Hill och Graham Ross har visat att det finns "gravitationskontakttermer" i Jordan-ramen, varvid handlingen modifieras av gravitonutbyte . Denna modifiering leder tillbaka till Einstein-ramen som den effektiva teorin. Kontaktinteraktioner uppstår i Feynman-diagram när en vertex innehåller en potens av det utbytta momentumet, $q^{2}$ , som sedan avbryter mot Feynman-propagatorn , 1 $\displaystyle 1/q^{2}}$ , vilket leder till en punkt -liknande interaktion. Detta måste inkluderas som en del av teorins effektiva verkan. När kontakttermen ingår kommer resultaten för amplituder i Jordan-ramen att vara likvärdiga med dem i Einstein-ramen och resultat av fysiska beräkningar i Jordan-ramen som utelämnar kontakttermerna kommer i allmänhet att vara felaktiga. Detta innebär att Jordan-ramåtgärden är missvisande, och Einstein-ramen är unikt korrekt för att helt representera fysiken.

Ekvationer och fysisk tolkning

Om vi utför Weyl-omskalningen ${\tilde {g}}_{\mu \nu }=\Phi ^{-2/(d -2)}g_{\mu \nu }$ , sedan modifieras Riemann- och Ricci-tensorerna enligt följande.

{\sqrt {-{\tilde {g}}}}=\Phi ^{-d/(d-2)}{\sqrt { -g}}

{\tilde {R}}=\Phi ^{2/(d-2)}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left({\frac {\nabla \Phi }{\Phi }}\right)^{ 2}\right]

Som ett exempel betrakta transformationen av en enkel skalärtensor- åtgärd med en godtycklig uppsättning materiafält $\psi _{\mathrm {m} }$ kopplade minimalt till den böjda bakgrunden

S=\int d^{d} x{\sqrt {-{\tilde {g}}}}\Phi {\tilde {R}}+S_{\mathrm {m} }[{\tilde {g}}_{\mu \nu },\ psi _{\mathrm {m} }]=\int d^{d}x{\sqrt {-g}}\left[R+{\frac {2(d-1)}{d-2}}{\ frac {\Box \Phi }{\Phi }}-{\frac {3(d-1)}{(d-2)}}\left(\nabla \left(\ln \Phi \right)\right) ^{2}\right]+S_{\mathrm {m} [\Phi ^{-2/(d-2)}g_{\mu \nu },\psi _{\mathrm {m} }]

Tildefälten motsvarar då kvantiteter i Jordan-ramen och fälten utan tilde motsvarar fält i Einstein-ramen. Se att ärendeåtgärden $S_{\mathrm {m} }$ endast ändras i omskalningen av måttet.

Jordan- och Einstein-ramarna är konstruerade för att göra vissa delar av fysiska ekvationer enklare, vilket också ger ramarna och fälten som förekommer i dem särskilda fysiska tolkningar. Till exempel, i Einstein-ramen, kommer ekvationerna för gravitationsfältet att vara av formen

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }=\mathrm {övriga\;fält} \,.

Dvs de kan tolkas som de vanliga Einsteinsekvationerna med speciella källor på höger sida. På liknande sätt skulle man i den newtonska gränsen återställa Poisson-ekvationen för den newtonska potentialen med separata källtermer.

Men genom att transformera till Einstein-ramen kopplas nu materiefälten inte bara till bakgrunden utan även till fältet $\Phi$ som nu fungerar som en effektiv potential. Specifikt kommer en isolerad testpartikel att uppleva en universell fyracceleration

a^{\mu }={\frac {-1}{d-2}}{\frac { \Phi _{,\nu }}{\Phi }}(g^{\mu \nu}+u^{\mu }u^{\nu}),

där $u^{\mu }$ är partikelns fyrhastighet. Dvs ingen partikel kommer att vara i fritt fall i Einstein-ramen.

Å andra sidan, i Jordan-ramen, är alla materiafält $\psi _{\mathrm {m} }$ minimalt kopplade till ${\tilde {g}}_{ \mu \nu }$ och isolerade testpartiklar kommer att röra sig på geodetik med avseende på metriska ${\tilde {g}}_{\mu \nu }$ . Detta betyder att om vi skulle rekonstruera Riemann-kurvaturtensorn genom mätningar av geodetisk avvikelse, skulle vi i själva verket erhålla krökningstensorn i Jordan-ramen. När vi å andra sidan härleder om närvaron av materiakällor från gravitationslinser från den vanliga relativistiska teorin, får vi fördelningen av materiekällorna i betydelsen Einstein-ramen.

Modeller

Jordan ramgravitation kan användas för att beräkna typ IV singular studsande kosmologisk evolution, för att härleda typ IV singulariteten.

Se även

Valerio Faraoni, Edgard Gunzig, Pasquale Nardone, Konforma transformationer i klassiska gravitationsteorier och i kosmologi, Fundam. Cosm. Phys. 20 (1999):121, arXiv : gr-qc/9811047 .
Eanna E. Flanagan, The conformal frame freedom in theories of gravitation, Class. Q. Grav. 21 (2004):3817, arXiv : gr-qc/0403063 .