Newtonsk gräns

Inom fysiken är den Newtonska gränsen en matematisk approximation som är tillämplig på fysiska system som uppvisar (1) svag gravitation , (2) objekt som rör sig långsamt jämfört med ljusets hastighet och (3) långsamt förändrade (eller helt statiska) gravitationsfält. Under dessa förhållanden Newtons universella gravitationslag användas för att erhålla värden som är korrekta. I allmänhet, och i närvaro av betydande gravitation, måste den allmänna relativitetsteorin användas.

I den Newtonska gränsen är rymdtiden ungefär platt och Minkowski-metriken kan användas över ändliga avstånd. I det här fallet definieras 'ungefär platt' som rymd där gravitationseffekten närmar sig 0, matematiskt faktisk rumtid och Minkowski-rymd inte är identiska, Minkowski-rymden är en idealiserad modell.

Särskild relativitet

I speciell relativitetsteori kan Newtonskt beteende i de flesta fall erhållas genom att utföra gränsen $c\to \infty$ . I denna gräns blir den ofta förekommande gammafaktorn 1

$${\begin{aligned}\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} &\to 1\end{aligned}}$$

och Lorentz-transformationerna mellan referensramar förvandlas till Galileo-transformationer

$${\begin{aligned}t'=\gamma (tv/c^{2}\,x)&\to t'=t\\x'=\gamma (xv\,t)&\to x'=xv\,t\end{aligned}}$$

Allmän relativitetsteori

Den geodetiska ekvationen för en fri partikel på krökt rumtid med metrisk $g^{\mu \nu }$ kan härledas från åtgärden

$${\begin{aligned}S[x,{\dot {x}}]&=-m\ ,c\,\int dt\,{\sqrt {-g_{\mu \nu}\,{\dot {x}}^{\mu }\,{\dot {x}}^{\nu }} }\end{aligned}}$$

Om rumtidsmåttet är

$${\begin{aligned}g&={\begin{pmatrix}1+{\frac {2\,\phi (x)}{c ^{2}}}&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}\end{aligned}}$$

sedan, ignorera alla bidrag av ordningen ${\frac {1}{c^{2}}}$ blir åtgärden

$${\begin{aligned}S[x,{\dot {x}} ]&=-m\,c\,\int dt\,{\sqrt {c^{2}+2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}} }\\&=-m\,c\,\int dt\,\left({\sqrt {c^{2}}}+{\frac {1}{2\,{\sqrt {c^{2 }}}}}\,\left(2\,\phi (x)-{\dot {\mathbf {x} }}^{2}\right)+...\right)\\&\approx \ int dt\,\left(-m\,c^{2}+{\frac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {x}}}^{2}-m\,\phi ( x)\right)\end{aligned}}$$

vilket är den åtgärd som reproducerar de Newtonska rörelseekvationerna för en partikel i en gravitationspotential $\phi (x)$

Se även

• Klassisk gräns