Japansk sats för cykliska polygoner
Inom geometri säger den japanska satsen att oavsett hur man triangulerar en cyklisk polygon så är summan av inradii av trianglar konstant .
|
|
|
| summan av de gröna cirklarnas radier = summan av de röda cirklarnas radier | |
Omvänt, om summan av inradii är oberoende av trianguleringen, så är polygonen cyklisk. Den japanska satsen följer av Carnots sats ; det är ett Sangaku-problem .
Bevis
Denna sats kan bevisas genom att först bevisa ett specialfall: oavsett hur man triangulerar en cyklisk fyrhörning , summan av inradii av trianglar är konstant.
Efter att ha bevisat det fyrsidiga fallet är det allmänna fallet för den cykliska polygonsatsen en omedelbar följd. Den fyrsidiga regeln kan tillämpas på fyrsidiga komponenter i en allmän partition av en cyklisk polygon, och upprepad tillämpning av regeln, som "vänder" en diagonal, kommer att generera alla möjliga partitioner från en given partition, med varje "vändning" som bevarar summan av inradii.
Det fyrsidiga fallet följer av en enkel förlängning av den japanska satsen för cykliska fyrhörningar , som visar att en rektangel bildas av de två paren av incenter som motsvarar de två möjliga trianguleringarna av fyrhörningen. Stegen i denna sats kräver ingenting utöver grundläggande konstruktiv euklidisk geometri.
Med den extra konstruktionen av ett parallellogram som har sidor parallella med diagonalerna och som tangerar hörnen av rektangeln av incenter, kan det fyrsidiga fallet för den cykliska polygonsatsen bevisas i några steg. Likheten mellan summorna av radierna för de två paren är ekvivalent med villkoret att det konstruerade parallellogrammet är en romb, och detta visas lätt i konstruktionen.
Ett annat bevis på det fyrsidiga fallet är tillgängligt på grund av Wilfred Reyes (2002). I beviset bevisas både den japanska satsen för cykliska fyrhörningar och fyrkantsfallet för den cykliska polygonsatsen som en konsekvens av Thébaults problem III .
Se även
- Carnots sats , som används i ett bevis på satsen ovan
- Lika incirklar-satsen
- Tangentlinjer till cirklar
Anteckningar
- ^ Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
- ^ Fukagawa, Hidetoshi; Pedoe, D. (1989). Japansk tempelgeometri . Manitoba, Kanada: Charles Babbage Research Center. s. 125–128. ISBN 0919611214 .
- ^ Reyes, Wilfred (2002). "En tillämpning av Thébaults sats" (PDF) . Forum Geometricorum . 2 : 183–185 . Hämtad 2 september 2015 .
- Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images . MAA, 2011, ISBN 9780883853528 , s. 121-125
- Wilfred Reyes: En tillämpning av Thebaults sats . Forum Geometricorum, volym 2, 2002, s. 183–185
externa länkar
- Mangho Ahuja, Wataru Uegaki, Kayo Matsushita: In Search of the Japanese Theorem
- Japansk sats vid Mathworld
- Japanese Theorem interaktiv demonstration på CaRs webbplats
- Wataru Uegaki: "Japansk satsの起源と歴史" (om den japanska satsens ursprung och historia) http://hdl.handle.net/10076/4917