Jacobi–Ilska expansion

I matematik är Jacobi -Ilska-expansionen (eller Jacobi-Ilska-identiteten ) en expansion av exponentialer av trigonometriska funktioner i basen av deras övertoner. Det är användbart i fysik (till exempel för att konvertera mellan plana vågor och cylindriska vågor), och i signalbehandling (för att beskriva FM- signaler). Denna identitet är uppkallad efter 1800-talets matematiker Carl Jacobi och Carl Theodor Anger .

Den mest allmänna identiteten ges av:

$e^{iz\cos \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^ {\infty }i^{n}\,J_{n}(z)\,e^{in\theta },$

där $J_{n}(z)$ är den $n$ -th Bessel-funktionen av det första slaget och $i$ är den imaginära enheten , ${\textstyle i^{2}=-1.}$ Genom att ersätta ${\textstyle \theta }$ med ${\textstyle \theta -{\frac {\pi }{2}}}$ får vi också:

$e^{iz\sin \theta }\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }J_{n}(z)\,e^{in\theta }.$

Genom att använda relationen $J_{-n}(z)=(-1)^{n}\,J_{n}(z) ,$ giltigt för heltal $n$ , expansionen blir:

$e^{iz\cos \theta }\equiv J_{0}(z)\,+\,2\,\sum _{n=1}^{\infty }\,i^{n}\ ,J_{n}(z)\,\cos \,(n\theta ).$

Verkligt värderade uttryck

Följande verkliga variationer är ofta användbara också:

${\begin{aligned}\cos(z\cos \theta )&\equiv J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n }J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\cos \theta )&\equiv -2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^ {n}J_{2n-1}(z)\cos \left[\left(2n-1\right)\theta \right],\\\cos(z\sin \theta )&\equiv J_{0} (z)+2\summa _{n=1}^{\infty}J_{2n}(z)\cos(2n\theta ),\\\sin(z\sin \theta )&\equiv 2\summa _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin \left[\left(2n-1\right)\theta \right].\end{aligned}}$

Se även

• Plan vågexpansion

Anteckningar

•      Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , red. (1983) [juni 1964]. "Kapitel 9" . Handbok för matematiska funktioner med formler, grafer och matematiska tabeller . Serien tillämpad matematik. Vol. 55 (Nionde nytrycket med ytterligare korrigeringar av tionde originaltrycket med korrigeringar (december 1972); första upplagan). Washington DC; New York: USA:s handelsdepartement, National Bureau of Standards; Dover Publikationer. sid. 355. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
•   Colton, David; Kress, Rainer (1998), Invers akustisk och elektromagnetisk spridningsteori , Applied Mathematical Sciences, vol. 93 (andra upplagan), ISBN 978-3-540-62838-5
•   Cuyt, Annie ; Petersen, Vigdis; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008), Handbook of continued fraktions for special functions , Springer, ISBN 978-1-4020-6948-2

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Jacobi–Ilska expansion" . MathWorld — en Wolfram webbresurs . Hämtad 2008-11-11 .