Isoelastisk funktion

Inom matematisk ekonomi är en isoelastisk funktion , ibland konstant elasticitetsfunktion , en funktion som uppvisar en konstant elasticitet , dvs har en konstant elasticitetskoefficient . Elasticiteten är förhållandet mellan den procentuella förändringen i den beroende variabeln och den procentuella orsaksförändringen i den oberoende variabeln , i gränsen när förändringarna närmar sig noll i storlek.

För en elasticitetskoefficient $r$ (som kan anta vilket verkligt värde som helst), ges funktionens allmänna form av

f(x)={kx^{r}},

där $k$ och $r$ är konstanter. Elasticiteten är per definition

{\text{elasticitet}}={\frac {df(x)}{dx}}{ \frac {x}{f(x)}}={\frac {d{\text{ln}}f(x)}{d{\text{ln}}x}},

som för denna funktion helt enkelt är lika med r .

Härledning

Elasticitet i efterfrågan indikeras med

${r}={\frac {dQ}{dP}}{\frac {P}{Q}}$ ,

där r är elasticiteten, Q är kvantitet och P är pris.

Omarrangering ger oss:

${\frac {r}{P}}{dP}={\frac {1}{Q}}{dQ}$

Sedan integreras

$\int {\frac {r}{P}}{dP}=\int {\frac {1}{Q}}{dQ}$

$r\ln(P)+C=\ln(Q)$

Förenkla

$e^{\ln(P)r+C}=e^{ln(Q)}$

$(e^{\ln(P)})^{r}e^{C}=Q$

$CP^{r}=Q$

$Q(p)=kP^{r}$

Exempel

Efterfrågan funktioner

Ett exempel inom mikroekonomi är efterfrågefunktionen för konstant elasticitet , där p är priset på en produkt och D ( p ) är den resulterande kvantiteten som efterfrågas av konsumenterna. För de flesta varor är elasticiteten r (reaktionsförmågan hos efterfrågad kvantitet för pris) negativ, så det kan vara bekvämt att skriva den konstanta elasticitetsefterfrågefunktionen med ett negativt tecken på exponenten, för att koefficienten r {\displaystyle $}$ ska få ett positivt värde:

D(p)={kp^{-r}},

där $r>0$ nu tolkas som den osignerade storleken på responsen. En analog funktion finns för tillförselkurvan .

Verktyget fungerar i närvaro av risk

Den konstanta elasticitetsfunktionen används också i teorin om val under riskaversion , som vanligtvis utgår från att riskaversa beslutsfattare maximerar det förväntade värdet av en konkav von Neumann-Morgenstern nyttofunktion . I detta sammanhang, med en konstant elasticitet i användbarheten med avseende på till exempel förmögenhet, är optimala beslut om sådana saker som aktier i en portfölj oberoende av omfattningen av beslutsfattarens förmögenhet. Den konstanta elasticitetsnyttofunktionen i detta sammanhang skrivs i allmänhet som

U(x)={\frac {1}{1-\gamma }}x^{1-\gamma }

där x är rikedom och $1-\gamma$ är elasticiteten, med ${\displaystyle \gamma >0} ,$ γ $\displaystyle \gamma }$ ≠ 1 kallas den konstanta koefficienten för relativ risk aversion (med riskaversion som närmar sig oändligheten som $\gamma$ → ∞).

Se även

externa länkar

Konstant elasticitetsbehov och utbudskurvor