Hyperbolisk rabatt

Inom ekonomi är hyperbolisk diskontering en tidsinkonsekvent modell för fördröjningsdiskontering . Det är en av hörnstenarna i beteendeekonomi och dess hjärnbas studeras aktivt av neuroekonomiforskare .

Enligt den diskonterade nyttometoden skiljer sig intertemporala val inte från andra val, förutom att vissa konsekvenser försenas och därför måste förutses och diskonteras (dvs. omvägas för att ta hänsyn till förseningen).

Med tanke på två liknande belöningar, visar människor en preferens för en som kommer förr snarare än senare. Människor sägs diskontera värdet av den senare belöningen, med en faktor som ökar med längden på förseningen. I finansvärlden modelleras denna process normalt i form av exponentiell diskontering , en tidskonsekvent modell för diskontering. Många psykologiska studier har sedan dess visat avvikelser i instinktiv preferens från den konstanta diskonteringsräntan som antas vid exponentiell diskontering. Hyperbolisk diskontering är en alternativ matematisk modell som stämmer mer överens med dessa fynd.

Enligt hyperbolisk diskontering faller värderingarna relativt snabbt för tidigare förseningsperioder (som i, från och med nu till en vecka), men faller sedan långsammare för längre förseningsperioder (till exempel mer än några dagar). Till exempel, i en tidig studie sa försökspersoner att de skulle vara likgiltiga mellan att få $15 omedelbart eller $30 efter 3 månader, $60 efter 1 år eller $100 efter 3 år. Dessa likgiltigheter återspeglar årliga diskonteringsräntor som sjönk från 277 % till 139 % till 63 % när förseningarna blev längre. Detta står i kontrast till exponentiell diskontering, där värderingen faller med en konstant faktor per enhetsfördröjning och diskonteringsräntan förblir densamma.

Standardexperimentet som används för att avslöja en testpersons hyperboliska diskonteringskurva är att jämföra kortsiktiga preferenser med långsiktiga preferenser. Till exempel: "Skulle du föredra en dollar idag eller tre dollar i morgon?" eller "Skulle du föredra en dollar på ett år eller tre dollar på ett år och en dag?" Det har hävdats att en betydande del av försökspersonerna kommer att ta det lägre beloppet idag, men gärna väntar en extra dag på ett år för att istället få det högre beloppet. Individer med sådana preferenser beskrivs som " nutidsorienterade ".

Den viktigaste konsekvensen av hyperbolisk rabatt är att den skapar tillfälliga preferenser för små belöningar som inträffar tidigare framför större, senare. Individer som använder hyperbolisk diskontering avslöjar en stark tendens att göra val som är inkonsekventa över tid – de gör val idag som deras framtida jag helst inte skulle ha gjort, trots att de känner till samma information. Denna dynamiska inkonsekvens uppstår på grund av att hyperboler förvränger det relativa värdet av optioner med en fast skillnad i fördröjningar i proportion till hur långt valtagaren är från dessa alternativ.

Observationer

Fenomenet med hyperbolisk diskontering är implicit i Richard Herrnsteins " matchningslag ", som säger att när de delar sin tid eller ansträngning mellan två icke-exklusiva, pågående belöningskällor, fördelar de flesta försökspersoner i direkt proportion till belöningarnas frekvens och storlek. från de två källorna och i omvänd proportion till deras förseningar. Det vill säga försökspersoners val "matchar" dessa parametrar.

Efter rapporten om denna effekt i fallet med förseningar påpekade George Ainslie att i ett enda val mellan en större, senare och en mindre, förr belöning, skulle omvänd proportionalitet mot försening beskrivas av en plot av värde för fördröjning som hade en hyperbolisk form , och att när den mindre, tidigare belöningen föredras, kan denna preferens vändas genom att öka båda belöningarnas förseningar med samma absoluta belopp. Ainslies forskning visade att ett stort antal försökspersoner rapporterade att de skulle föredra 50 USD omedelbart snarare än 100 USD på sex månader, men att de INTE skulle föredra 50 USD på 3 månader istället för 100 USD på nio månader, även om detta var samma val efter 3 månader. större avstånd. Mer signifikant, de försökspersoner som sa att de föredrog 50 USD på 3 månader framför 100 USD på 9 månader sa att de INTE skulle föredra 50 USD på 12 månader till 100 USD på 18 månader – igen, samma par alternativ på ett annat avstånd – vilket visar att preferensen- vändningseffekten berodde inte på spänningen att få en omedelbar belöning. Inte heller beror det på mänsklig kultur; de första preferensomvändningsfynden var hos råttor och duvor.

Många efterföljande experiment har bekräftat att spontana preferenser av både mänskliga och icke-mänskliga försökspersoner följer en hyperbolisk kurva snarare än den konventionella, exponentiella kurvan som skulle producera konsekventa val över tiden. Till exempel, när de erbjuds valet mellan $50 nu och $100 per år från och med nu, kommer många att välja de omedelbara $50. Men givet valet mellan $50 på fem år eller $100 på sex år kommer nästan alla att välja $100 på sex år, även om det är samma val sett på fem års längre avstånd.

Hyperbolisk diskontering har också visat sig relatera till verkliga exempel på självkontroll. Faktum är att en mängd studier har använt mått på hyperbolisk diskontering för att finna att drogberoende individer diskonterar fördröjda konsekvenser mer än matchade icke-beroende kontroller, vilket tyder på att extrem fördröjningsdiskontering är en grundläggande beteendeprocess i drogberoende. Vissa bevis tyder på att patologiska spelare också diskonterar försenade resultat till högre priser än matchade kontroller. Huruvida höga nivåer av hyperboliska rabatter föregår missbruk eller vice versa är för närvarande okänt, även om vissa studier har rapporterat att lågprisföretag är mer benägna att konsumera alkohol och kokain än lågprisföretag. På samma sätt har vissa föreslagit att hyperbolisk rabatt med hög ränta gör oförutsägbara ( spel ) resultat mer tillfredsställande.

Graden av rabatt är av avgörande betydelse för att beskriva hyperbolisk rabatt, särskilt vid diskontering av specifika belöningar som pengar. Diskonteringen av monetära belöningar varierar mellan åldersgrupper på grund av den varierande diskonteringsräntan. Graden beror på en mängd olika faktorer, inklusive arten som observeras, ålder, erfarenhet och hur lång tid som behövs för att konsumera belöningen.

Matematisk modell

Steg-för-steg förklaring

Anta att deltagarna i en studie erbjuds valet mellan att ta x dollar omedelbart eller ta y dollar n dagar senare. Antag vidare att en deltagare i den studien använder exponentiell diskontering och en annan använder hyperbolisk diskontering. Båda deltagarna vet att de kan investera pengarna de får idag i en sparplan som ger dem ett intresse på r . Båda inser att de borde ta x dollar omedelbart om det framtida värdet av sparplanen kommer att ge mer än y dollar n dagar senare. Varje deltagare förstår korrekt den grundläggande frågan som ställs: "För ett givet värde på y dollar och n dagar, vilket är det lägsta beloppet x dollar som jag borde vara villig att acceptera? Med andra ord, hur många dollar skulle jag behöva för att investera idag för att få y dollar om n dagar?" Var och en kommer att ta x dollar om x är större än svaret som de beräknar, och var och en kommer att ta y dollar om n dagar om x är mindre än det svaret. Metoderna som de använder för att beräkna det beloppet och svaren som de får kommer att vara olika, och endast den exponentiella diskonteraren kommer att använda rätt metod och få ett tillförlitligt korrekt resultat:

Den exponentiella rabatten tänker "Sparplanen lägger till sitt värde, varje dag, r procent av värdet som den hade föregående dag. Så varje dag multiplicerar den sitt värde en gång med (100% + r %). Så om jag håller investeringen under n dagar kommer dess värde att ha multiplicerat sig själv med detta belopp n gånger, vilket gör det värdet (100 % + r %) ⁿ av vad det var i början – det vill säga (1 + r ) ⁿ gånger vad det var i början. Så för att ta reda på hur mycket jag skulle behöva börja med idag för att få y dollar om n dagar, måste jag dividera y dollar med [1 + r ] ⁿ ."
Den hyperboliska diskonteringsföretaget tycker dock "Sparplanen ökar sitt värde, för varje dag, r procent. Därför, efter n dagar, adderar den till sitt värde r×n procent [Där ligger den hyperboliska lågprisarens fel]. Så för att räkna ut. ut hur mycket jag skulle behöva börja med idag för att få y dollar om n dagar, jag måste dividera y dollar med [1 + n × r ]."

När n blir mycket stort blir värdet på (1 + r ) ⁿ mycket större än värdet på [1 + n × r ], med effekten att värdet på y / (1 + r ) ⁿ blir mycket mindre än värdet på y /[ 1 + n×r ]. Därför kommer minimivärdet på x (antalet dollar i det omedelbara valet) som räcker för att vara större än det beloppet att vara mycket mindre än vad den hyperboliska diskonteraren tror, med resultatet att de kommer att uppfatta x -värden i intervallet från y /(1 + r ) ⁿ till y /[ 1 + n×r ] inklusive som för liten och, som ett resultat, irrationellt avvisa dessa alternativ när de i själva verket är den bästa investeringen.

Formell modell

Hyperbolisk diskontering beskrivs matematiskt som

g(D)={\frac {1}{1+kD}}\,

där g ( D ) är diskonteringsfaktorn som multiplicerar belöningens värde, D är fördröjningen av belöningen och k är en parameter som styr diskonteringsgraden (till exempel räntan ) . Detta jämförs med formeln för exponentiell diskontering:

f(D)=e^{-kD}\,

Jämförelse

Om $f(D)=2^{-D}\,$ är en exponentiell diskonteringsfunktion och $g(D)={ \frac {1}{1+D}}\,$ en hyperbolisk funktion (med D antalet veckors fördröjning), sedan är den exponentiella diskonteringen en vecka senare från "nu" ( D =0) ${\displaystyle {\frac {f(1)}{f(0)}}={\frac {1}{2}}\,} ,$ och den exponentiella rabatten en vecka från vecka D är ${\displaystyle {\frac {f(D+1)}{f(D)}}={\frac {1}{2}}\,} , vilket$ betyder de är likadana. För g ( D ), ${\frac {g(1)}{g(0)}}={\frac {1}{2}}\,$ , vilket är samma som för f , medan ${\frac {g(D+1)}{g(D)}}=1- {\frac {1}{D+2}}\,$ . Av detta kan man se att de två typerna av rabatter är samma "nu", men när D är mycket större än 1, till exempel 52 (ett år), ${\ frac {g(D+1)}{g(D)}}\,$ tenderar att gå till 1, så att den hyperboliska diskonteringen för en vecka i en lång framtid är praktiskt taget noll, medan den exponentiella diskonteringsfaktorn fortfarande är 1 /2, så det finns fortfarande betydande rabatter inom en lång framtid.

Kvasi-hyperbolisk approximation

Den "kvasihyperboliska" rabattfunktionen (ibland kallad "beta-delta diskontering"), föreslagen av Laibson (1997), approximerar den hyperboliska rabattfunktionen ovan i diskret tid med

f(D)={\begin{cases}1\quad D=0\\\beta \delta ^{D}\quad D=1,2,3,...\end{cases}}

där p och 5 är konstanter mellan 0 och 1; och D är fördröjningen i belöningen, men nu tar den bara heltalsvärden. Villkoret f (0) = 1 anger att belöningar som tas ut för närvarande inte diskonteras.

Kvasihyperbolisk diskontering behåller mycket av den analytiska hanteringsbarheten av exponentiell diskontering samtidigt som den fångar de viktigaste kvalitativa egenskapen hos hyperbolisk diskontering.

Förklaringar

Osäkra risker

Huruvida diskontering av framtida vinster är rationell eller inte – och i vilken takt sådana vinster bör diskonteras – beror mycket på omständigheterna. Det finns många exempel inom till exempel finansvärlden där det är rimligt att anta att det finns en implicit risk att belöningen inte kommer att finnas tillgänglig vid ett framtida datum, och dessutom att denna risk ökar med tiden. Överväg att betala 50 USD för middag idag eller skjuta upp betalningen i sextio år men betala 100 000 USD. I detta fall skulle krögaren vara rimligt att diskontera det utlovade framtida värdet eftersom det finns en betydande risk att det inte betalas (t.ex. på grund av krögarens eller matgästens död).

Osäkerhet av denna typ kan kvantifieras med Bayesiansk analys . Anta till exempel att sannolikheten för att belöningen är tillgänglig efter tid t är, för känd riskfrekvens λ,

P(R_{t}|\lambda )=\exp(-\lambda t),\,

men kursen är okänd för beslutsfattaren. Om den tidigare sannolikhetsfördelningen av λ är

p(\lambda )=\exp(-\lambda /k)/k,\,

då kommer beslutsfattaren att förvänta sig att sannolikheten för belöningen efter tid t är

P(R_{t})=\int _{0}^{\infty } P(R_{t}|\lambda )p(\lambda )d\lambda ={\frac {1}{1+kt}},\,

vilket är exakt den hyperboliska diskonteringsräntan. Liknande slutsatser kan erhållas från andra rimliga fördelningar för λ.

Ansökningar

På senare tid har dessa observationer om rabattfunktioner använts för att studera pensionssparande , personlig inkomst till drogberoende, lån på kreditkort och förhalning . Det har ofta använts för att förklara beroende . Hyperbolisk rabatt har också erbjudits som en förklaring till skillnaden mellan integritetsatityder och beteende.

Nuvarande värden på livräntor

Nuvärdet av en standardlivränta

Nuvärdet av en serie lika årliga kassaflöden i efterskott diskonterade hyperboliskt är

V=P{\frac {\ln(1+kD)}{k}},\,

där V är nuvärdet, P är det årliga kassaflödet, D är antalet årliga betalningar och k är faktorn som styr diskontering.

Kritik

Flera alternativa förklaringar till icke-exponentiell diskontering har föreslagits. En artikel från 2003 noterade att detta mönster kan förklaras bättre av en likhetsheuristik än av hyperbolisk diskontering. Försökspersoner har också rapporterat förändrade relativa preferenser när de ser fler detaljer om vad de väljer - en "tidskonstruerad" effekt.

En studie av Daniel Read introducerar "subadditiv diskontering": det faktum att diskontering över en fördröjning ökar om förseningen delas upp i mindre intervall. Denna hypotes kan förklara huvudfynden i många studier till stöd för hyperbolisk diskontering - observationen att otålighet avtar med tiden - samtidigt som den tar hänsyn till observationer som inte förutsägs av hyperbolisk diskontering. Men även om dessa observationer avviker från exponentiell diskontering, medför de inte preferensomkastning när tiden från valet till den tidigare belöningen ökar.

Upphetsning av aptit eller känslor leder ibland till omvända preferenser, och detta har varit det mest accepterade alternativet till en helt enkelt hyperbolisk funktion: hyperboloid eller kvasihyperbolisk diskontering smälter samman exponentiella kurvor med en upphetsningsbula när en visceral belöning blir nära förestående. Sådana fall är självklart viktiga, men tar ändå inte hänsyn till fall där antingen båda eller inget av valen görs under upphetsning.

Den mest uppenbara invändningen mot hyperbolisk rabatt är att många eller de flesta människor lär sig att välja konsekvent över tiden i de flesta situationer. På samma sätt kritiserade ett dokument från 2014 de befintliga studierna för att de mestadels använde data som samlats in från universitetsstudenter och att de var för snabba att dra slutsatsen att den hyperboliska modellen för diskontering är korrekt. Människoexperiment har ofta rapporterat stora variationer mellan individer. Om det krävs lärande för att övervinna tendensen till tillfälliga preferenser, är nästa självklara uppgift för experimenterande att testa teorier om hur och när detta lärande sker (t.ex. Ainslie, 2012).

Se även

Vidare läsning

Ainslie, GW (1975). "Specious belöning: En beteendeteori om impulsivitet och impulsiv kontroll" . Psykologisk Bulletin . 82 (4): 463–496. doi : 10.1037/h0076860 . PMID 1099599 .
Ainslie, G. (1992). Picoeconomics: Den strategiska interaktionen mellan successiva motivationstillstånd inom personen . Cambridge: Cambridge University Press.
Ainslie, G. (2001). Fördelning av vilja . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-59694-7 .
Rachlin, H. (2000). Vetenskapen om självkontroll . Cambridge; London: Harvard University Press.