Holditchs teorem
Inom plangeometri säger Holditchs teorem att om ett korda med fast längd tillåts rotera inuti en konvex stängd kurva, så är platsen för en punkt på kordan ett avstånd p från ena änden och ett avstånd q från den andra en sluten kurva vars inneslutna area är mindre än den ursprungliga kurvan med . Teoremet publicerades 1858 av pastor Hamnet Holditch . Även om det inte nämns av Holditch, kräver beviset för satsen ett antagande att ackordet är tillräckligt kort för att det spårade stället är en enkel sluten kurva.
Observationer
Teoremet ingår som en av Clifford Pickovers 250 milstolpar i matematikens historia . Några särdrag med satsen inkluderar att areaformeln är oberoende av både formen och storleken på den ursprungliga kurvan, och att areaformeln är densamma som för arean av en ellips med halvaxlar p och q . Teoremens författare var en president för Caius College, Cambridge .
Tillägg
Broman ger en mer exakt redogörelse för satsen, tillsammans med en generalisering. Generaliseringen tillåter till exempel övervägande av fallet där den yttre kurvan är en triangel , så att villkoren för det exakta uttalandet av Holditchs sats inte håller eftersom banorna för ackordets ändpunkter har retrograda delar (delar som går tillbaka själva) närhelst en spetsig vinkel korsas. Icke desto mindre visar generaliseringen att om ackordet är kortare än någon av triangelns höjder och är tillräckligt kort för att det spårade stället är en enkel kurva, är Holditchs formel för området mittemellan fortfarande korrekt (och förblir så om triangeln är ersättas av valfri konvex polygon med tillräckligt kort ackord). Men andra fall resulterar i andra formler.
Vidare läsning
- B. Williamson, FRS , En elementär avhandling om integralkalkylen: innehållande tillämpningar på plana kurvor och ytor, med många exempel (Longmans, Green, London, 1875; 2:a 1877; 3:e 1880; 4:e 1884; 5:e 6:e 1888; 1896; 8:e 1906; 1912, 1916, 1918, 1926); Ist 1875 , s. 192–193, med hänvisning till Holditchs prisfråga i The Lady's and Gentleman's Diary för 1857 (uppträder i slutet av 1856), med förlängning av Woolhouse i numret för 1858; 5:e 1888 ; 8:e 1906 s. 206–211
- J. Edwards, A Treatise on the Integral Calculus med tillämpningar, exempel och problem, vol. 1 (Macmillan, London, 1921), kap. XV, speciellt. Avsnitt 478, 481–491, 496 (se även kap. XIX för momentana centra, rouletter och glisettes); förklarar och hänvisar till tillägg på grund av Woolhouse, Elliott, Leudesdorf, Kempe, med utgångspunkt i Williamsons tidigare bok.
- Kılıç, Erol; Keleş, Sadık (1994), "Om Holditchs teorem och polär tröghetsmomentum", Kommunikationsvetenskapliga fakulteten University of Ankara , Serie A1: Mathematics and Statistics, 43 (1–2): 41–47 (1996), MR 1404786
- Cooker, Mark J. (juli 1998), "An extension of Holditch's theorem on the area within a closed curve", The Mathematical Gazette , 82 (494): 183–188, doi : 10.2307/3620400 , JSTOR 3620400 , S234C3ID 62443ID
- Cooker, Mark J. (mars 1999), "On sweeping out an area", The Mathematical Gazette , 83 (496): 69–73, doi : 10.2307/3618685 , JSTOR 3618685 , S2CID 125103358
- Apostol, Tom M. ; Mnatsakanian, Mamikon A. (2012), "9.13 Remarks concerning Holditch's theorem" , New Horizons in Geometry , The Dolciani Mathematical Expositions, vol. 47, Washington, DC: Mathematical Association of America, s. 291–294, ISBN 978-0-88385-354-2 , MR 3024916