Hironaka nedbrytning

I matematik är en Hironaka-nedbrytning en representation av en algebra över ett fält som en finitely genererad fri modul över en polynom subalgebra eller en vanlig lokal ring . Sådana nedbrytningar är uppkallade efter Heisuke Hironaka , som använde detta i sin opublicerade masteruppsats vid Kyoto University ( Nagata 1962 , s.217).

Hironakas kriterium ( Nagata 1962 , sats 25.16), ibland kallad mirakelplanhet , säger att en lokal ring R som är en ändligt genererad modul över en vanlig Noetherisk lokal ring S är Cohen–Macaulay om och bara om det är en fri modul över S . Det finns ett liknande resultat för ringar som är graderade över ett fält snarare än lokalt.

Explicit nedbrytning av en invariant algebra

Låt $V$ vara ett ändligt dimensionellt vektorrum över ett algebraiskt slutet fält med karakteristisk noll, ${\displaystyle K} ,$ som bär en representation av en grupp $G$ , och betrakta polynomalgebra på $V$ , $K[V]$ . Algebra $K[V]$ har en gradering med ${\displaystyle (K[V])_{0}=K} ,$ som ärvs av den invarianta subalgebra

K[V]^{G}=\{f\in K[V]\mid g\ circ f=f,\forall g\in G\}

.

Ett känt resultat av invariant teori, som gav svaret på Hilberts fjortonde problem , är att om $G$ är en linjärt reduktiv grupp och $V$ är en rationell representation av $G$ , då $K[V]$ genereras ändligt. Ett annat viktigt resultat, på grund av Noether , är att varje ändligt genererad graderad algebra $R$ med $R_{0}=K$ tillåter ett (inte nödvändigtvis unikt) homogent system av parametrar (HSOP). En HSOP (även kallad primära invarianter ) är en uppsättning homogena polynom, ${\displaystyle \{\theta _{i}\}} ,$ som uppfyller två egenskaper:

$\theta _{i}\}}$ θ är algebraiskt oberoende.
Nollmängden för $\{\theta _{i}\}$ , ${\displaystyle \{v\in V|\theta _{i}=0\}} ,$ sammanfaller med nullkonen (länk) för $R$ .

Viktigt är att detta innebär att algebra sedan kan uttryckas som en ändligt genererad modul över subalgebra genererad av HSOP, $K[\theta _{1},\dots , \theta _{l}]$ . I synnerhet kan man skriva

K[V]^{G}=\summa _{k}\eta _{k}K[\theta _{ 1},\dots ,\theta _{l}]

,

där $\eta _{k}$ kallas sekundära invarianter .

Om $K[V]^{G}$ är Cohen–Macaulay, vilket är fallet om $G$ är linjärt reduktiv, så är det en fri (och som redan nämnts, ändligt genererad) modul över vilken HSOP som helst. Således har man faktiskt en Hironaka-nedbrytning

K[V]^{G}=\bigoplus _{k}\eta _{k}K[\theta _{ 1},\dots ,\theta _{l}]

.

I synnerhet kan varje element i $K[V]^{G}$ skrivas unikt som  $\sum \nolimits _{j}\eta _{ j}f_{j}$ , där $f_{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]$ , och produkten av alla två sekundärer är unikt given av $\eta _{k}\eta _{m}=\sum \nolimits _{j}\eta _{j}f_{km}^{j}$ , där $f_{km}^{j}\in K[\theta _{1},\dots ,\theta _{l}]$ . Detta specificerar multiplikationen i $K[V]^{G}$ entydigt.

Se även

Nagata, Masayoshi (1962), Lokala ringar , Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, New York-London: Interscience Publishers en division av John Wiley & Sons, ISBN 0-88275-228-6 , MR 0155856
Sturmfels, Bernd ; White, Neil (1991), "Computing combinatorial decompositions of rings", Combinatorica , 11 (3): 275–293, doi : 10.1007/BF01205079 , MR 1122013