Heteroklinisk bana

Fasporträttet av pendelekvationen x'' + sin x = 0. Den markerade kurvan visar den heterokliniska omloppsbanan från ( x , x') = (−π, 0) till ( x , x ' ) = (π, 0) . Denna bana motsvarar att den (styva) pendeln börjar upprätt, gör ett varv genom sitt lägsta läge och slutar upprätt igen.

Inom matematiken , i fasporträttet av ett dynamiskt system , är en heteroclinic bana (kallas ibland en heteroclinic koppling ) en bana i fasrummet som förenar två olika jämviktspunkter . Om jämviktspunkterna i början och slutet av banan är desamma är banan en homoklinisk bana .

Betrakta det kontinuerliga dynamiska systemet som beskrivs av ODE

${\dot {x}}=f(x)$

Anta att det finns jämvikter vid $x=x_{0}$ och $x=x_{1}$ , då en lösning $\phi (t)$ är en heteroklin bana från $x_{0}$ till $x_{1}$ om

$\phi (t)\rightarrow x_{0}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow -\infty$

och

$\phi (t)\rightarrow x_{1}\quad \mathrm {as} \quad t\rightarrow +\infty$

Detta innebär att omloppsbanan finns i det stabila grenröret x $\displaystyle x_{1}}$ och det instabila grenröret x $\displaystyle x_{0}}$ .

Symbolisk dynamik

Genom att använda Markov-partitionen kan det långa beteendet hos hyperboliska systemet studeras med hjälp av teknikerna för symbolisk dynamik . I detta fall har en heteroklinisk bana en särskilt enkel och tydlig representation. Antag att $S=\{1,2,\ldots ,M\}$ är en ändlig uppsättning av M symboler. Dynamiken för en punkt x representeras sedan av en bi-oändlig sträng av symboler

$\sigma =\{(\ldots ,s_{-1},s_{0}, s_{1},\ldots ):s_{k}\in S\;\forall k\in \mathbb {Z} \}$

En periodisk punkt i systemet är helt enkelt en återkommande sekvens av bokstäver. En heteroklin bana är då sammanfogningen av två distinkta periodiska banor. Det kan skrivas som

$p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}q^{\omega }$

där $p=t_{1}t_{2}\cdots t_{k}$ är en sekvens av symboler med längden k , (naturligtvis $t_{i}\in S$ ), och $q=r_{1}r_{2}\cdots r_{m}$ är en annan sekvens av symboler med längden m ( likaså $r_{i}\in S$ ). Notationen $p^{\omega }$ betecknar helt enkelt upprepningen av p ett oändligt antal gånger. Således kan en heteroklin bana förstås som övergången från en periodisk bana till en annan. Däremot kan en homoklinisk omloppsbana skrivas som

$p^{\omega }s_{1}s_{2}\cdots s_{n}p^{\omega }$

med den mellanliggande sekvensen $s_{1}s_{2}\cdots s_{n}$ är icke-tom, och naturligtvis inte p , eftersom annars skulle omloppsbanan helt enkelt vara $p^{\omega }$ .

Se även

• Heteroklinisk koppling
• Heteroklinisk cykel
• Heteroklinisk bifurkation
• Homoklinisk bana
• Resande våg

• John Guckenheimer och Philip Holmes , Icke-linjära oscillationer, dynamiska system och bifurkationer av vektorfält , (Applied Mathematical Sciences Vol. 42 ), Springer