Halpern–Läuchlis sats

Inom matematiken är Halpern –Läuchli-satsen ett partitionsresultat om ändliga produkter av oändliga träd . Dess ursprungliga syfte var att ge en modell för mängdteori där den booleska primidealsatsen är sann men valets axiom är falskt. Det kallas ofta för Halpern–Läuchli-satsen, men den korrekta attributionen för satsen som den är formulerad nedan är till Halpern-Läuchli-Laver-Pincus eller HLLP (uppkallad efter James D. Halpern, Hans Läuchli, Richard Laver och David Pincus ), efter Milliken (1979) .

Låt d , r < ω, $\langle T_{i}:i\in d\rangle$ vara en följd av ändligt delade träd med höjden ω. Låta

$\bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{ i}(n)\right)=C_{1}\cup \cdots \cup C_{r},$

då finns det en sekvens av underträd $\langle S_{i}:i\in d\rangle$ starkt inbäddade i $\langle T_{ i}:i\in d\rangle$ så att

$\bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}S_{i}(n)\right)\subset C_{k}{\text{ för vissa }}k\ leq r.$

Alternativt låt

$S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d}= \bigcup _{n\in \omega }\left(\prod _{i<d}T_{i}(n)\right)$

och

$\mathbb {S} ^{d}=\bigcup _{\langle T_{i}:i\in d\rangle }S_{\langle T_{i}:i\in d\rangle }^{d }.$ .

HLLP-satsen säger att inte bara partitionen ${\displaystyle \mathbb {S} ^{d}} är$ regelbunden för varje d < ω , utan att det homogena delträdet som garanteras av satsen är starkt inbäddat i

$T=\langle T_{i}:i\in d\rangle .$

•   Halpern, James D.; Läuchli, Hans (1966), "A partition theorem", Transactions of the American Mathematical Society , 124 : 360–367, doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0200172-2 , MR 0200172
•   Milliken, Keith R. (1979), "A Ramsey theorem for trees", Journal of Combinatorial Theory , Series A, 26 (3): 215–237, doi : 10.1016/0097-3165(79)90101-8 , MR 53515
•   Milliken, Keith R. (1981), "A partition theorem for the infinite subtrees of a tree", Transactions of the American Mathematical Society , 263 ( 1): 137–148, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0590416- 8 , MR 0590416
•   Pincus, David; Halpern, James D. (1981), "Partitions of products", Transactions of the American Mathematical Society , 267 ( 2): 549–568, doi : 10.1090/s0002-9947-1981-0626489-3 , MR 062648