Hadamards lemma

Inom matematiken är Hadamards lemma , uppkallad efter Jacques Hadamard , i huvudsak en första ordningens form av Taylors sats , där vi kan uttrycka en smidig, verkligt värderad funktion exakt på ett bekvämt sätt.

Påstående

Hadamards lemma — Låt $f$ vara en jämn funktion med verkligt värde definierad på ett öppet, stjärnkonvext område $U$ av en punkt $a$ i $n$ - dimensionellt euklidiskt utrymme. Då $f(x)$ uttryckas, för alla $x\in U,$ i formen:

$$f(x)=f(a)+\sum _{i=1}^ {n}\left(x_{i}-a_{i}\right)g_{i}(x),$$

där varje $g_{i}$ är en jämn funktion på $U,$$a=\left(a_{1}, \ldots ,a_{n}\right),$ och $x=\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right).$

Bevis

Bevis

Låt $x\in U.$ Definiera $h:[0,1]\to \mathbb {R}$ med

$$h(t)=f(a+t(xa))\qquad {\text{ för alla }}t\i [0,1].$$

Sedan

$$h'(t)=\summa _{i=1 }^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\left(x_{i}-a_{i}\right),$$

vilket innebär

$$h(1)-h(0)=\int _{0}^{1}h'(t)\,dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1} ^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\left(x_{i}-a_{i}\right)\,dt=\summa _{i=1}^{n}\left(x_{i}-a_{i}\right)\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i} }}(a+t(xa))\,dt.$$

Men dessutom, $h(1)-h(0)=f(x)-f(a),$ så genom att låta

$$g_{i}(x)=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a+t(xa))\,dt,$$

satsen har bevisats. $\blacksquare$

Konsekvenser och tillämpningar

Följd — Om $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ är jämn och $f(0)=0$ då $f(x)/x$ är en smidig funktion på $\mathbb {R} .$ Denna slutsats betyder uttryckligen att funktionen $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ som skickar $x\in \mathbb {R}$ till

$${\begin{cases}f(x)/x&{\text{ if }}x\neq 0\\ \lim _{t\to 0}f(t)/t&{\text{ if }}x=0\\\end{cases}}$$

är en väldefinierad smidig funktion på $\mathbb {R} .$

Bevis

Enligt Hadamards lemma finns det några $g\in C^{\infty }(\mathbb {R} )$ så att $f(x)=f(0)+xg(x)$ så att $f(0)=0$ innebär $f(x)/x=g(x).$$\blackquare$

Följd — Om $y,z\in \mathbb {R} ^{n}$ är distinkta punkter och $f:\mathbb {R} ^{n }\to \mathbb {R}$ är en jämn funktion som uppfyller $f(z)=0=f(y)$ då finns det mjuka funktioner $g_{i},h_{i}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ ( $i=1,\ldots ,3n-2$ ) som uppfyller $z)=0=h_{i}( y)}$ för varje $i$ så att

$$f=\sum _{i}^{}g_{i}h_{i}.$$

Bevis

Genom att tillämpa en inverterbar affin linjär ändring i koordinater kan det utan förlust av allmänhet antas att $z=(0,\ldots ,0)$ och $y=(0,\ldots ,0,1).$ Enligt Hadamards lemma finns det $g_{1},\ldots ,g_{ n}\in C^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{n}\right)$ så att ${\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x).} För varje i =$ 1 $i=1, \ldots ,n,}$ låt $\alpha _{i}:=g_{i}(y)$ där $0=f(y)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}g_{i}(y)=g_{n}(y )$ innebär $\alpha _{n}=0.$ Sedan för alla $x=\left(x_{1 },\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n},$

$${\begin{alignedat}{8}f(x)&=\summa _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x)&&\\&=\summa _{ i=1}^{n}\left[x_{i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\summa _{i=1}^{n -1}\left[x_{i}\alpha _{i}\right]&&\quad {\text{ med }}g_{i}(x)=\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)+\alpha _{i}{\text{ och }}\alpha _{n}=0\\&=\left[\summa _{i=1}^{n}x_{ i}\left(g_{i}(x)-\alpha _{i}\right)\right]+\left[\summa _{i=1}^{n-1}x_{i}x_{n }\alpha _{i}\right]+\left[\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}\left(1-x_{n}\right)\alpha _{i} \right]&&\quad {\text{ med }}x_{i}=x_{n}x_{i}+x_{i}\left(1-x_{n}\right).\\\end{alignedat }}$$

Var och en av de $3n-2$ termerna ovan har de önskade egenskaperna. $\blacksquare$

Se även

• Bump-funktion – Smidig och kompakt stödd funktion
• Kontinuerligt differentierbar – Matematisk funktion vars derivata existerar Sidor som visar korta beskrivningar av omdirigeringsmål
• Jämnhet – Antal derivator av en funktion (matematik)
• Taylors teorem – Approximation av en funktion med en trunkerad potensserie

Citat

•   Nestruev, Jet (2002). Släta grenrör och observerbara . Berlin: Springer. ISBN 0-387-95543-7 .
•    Nestruev, Jet (10 september 2020). Släta grenrör och observerbara . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 220. Cham, Schweiz: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8 . OCLC 1195920718 .