HPO formalism

History Projection Operator (HPO) formalism är ett förhållningssätt till temporal kvantlogik utvecklat av Chris Isham . Den handlar om den logiska strukturen hos kvantmekaniska satser som hävdas vid olika tidpunkter.

Introduktion

I standardkvantmekanik är ett fysiskt system associerat med ett Hilbert-rum ${\mathcal {H}}$ . Systemets tillstånd vid en fast tidpunkt representeras av normaliserade vektorer i rymden och fysiska observerbara objekt representeras av hermitiska operatorer på ${\mathcal {H}}$ .

En fysisk proposition $\,P$ om systemet vid en fast tidpunkt kan representeras av en ortogonal projektionsoperator ${\hat {P}}$ på ${\mathcal {H} }$ (Se kvantlogik ). Denna representation länkar samman gitteroperationerna i gittret av logiska propositioner och gittret för projektionsoperatorer på ett Hilbertrum (Se kvantlogik ) .

HPO-formalismen är en naturlig förlängning av dessa idéer till propositioner om systemet som handlar om mer än en gång.

Historieförslag

Homogena historier

En homogen historiesats $\,\alpha$ är en sekvens av engångspropositioner $\alpha _{t_{i}}$ specificerade vid olika tidpunkter $t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}$ . Dessa tider kallas historiens tidsmässiga stöd . Vi ska beteckna propositionen $\,\alpha$ som $(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ och läs det som

" $\alpha _{t_{1}}$ vid tidpunkten $t_{1}$ är sant och sedan $\alpha _{t_{2}}$ vid tid $t_{2}$ är sant och sedan $\ldots$ och sedan $\alpha _{t_{n}}$ vid tidpunkten $t_{n }$ är sant"

Inhomogena historier

Alla historiepropositioner kan inte representeras av en sekvens av engångspropositioner vid olika tidpunkter. Dessa kallas inhomogena historiesatser . Ett exempel är propositionen $\,\alpha$ ELLER $\,\beta$ för två homogena historier $\,\alpha ,\beta$ .

Historieprojektionsoperatörer

Nyckelobservationen av HPO-formalismen är att representera historiepropositioner av projektionsoperatörer på ett historiskt Hilbert-rum . Det är härifrån namnet "History Projection Operator" (HPO) kommer.

För en homogen historik $\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})$ vi kan använda tensorprodukten för att definiera en projektor

${\hat {\alpha }}:={\hat {\alpha }}_{t_{1}}\otimes {\hat {\alpha }}_{t_{2}}\otimes \ldots \otimes {\hat {\alpha }}_{t_{n}}$

där ${\hat {\alpha }}_{t_{i}}$ är projektionsoperatorn på ${\mathcal {H}}$ som representerar propositionen ${\ displaystyle \alpha _{t_{i}}}$ vid tiden $t_{i}$ .

Denna ${\hat {\alpha }}$ är en projektionsoperator på tensorprodukten "historia Hilbert space" $H={\mathcal {H}}\ ibland {\mathcal {H}}\otimes \ldots \otimes {\mathcal {H}}$

Inte alla projektionsoperatorer på $H$ kan skrivas som summan av tensorprodukter av formen ${\hat {\alpha }}$ . Dessa andra projektionsoperatorer används för att representera inhomogena historier genom att tillämpa gitteroperationer på homogena historier.

Temporal kvantlogik

Att representera historiska propositioner av projektorer om historien Hilbert space kodar naturligtvis den logiska strukturen av historiepropositioner. Gitteroperationerna på uppsättningen projektionsoperationer på historien Hilbert space $\displaystyle H}$ { kan användas för att modellera gittret av logiska operationer på historiepropositioner.

Om två homogena historier $\,\alpha$ och $\,\beta$ inte delar samma tidsmässiga stöd kan de modifieras så att de gör det. Om $\,t_{i}$ är i det temporala stödet för $\,\alpha$ men inte $\,\beta$ (till exempel) så är en ny homogen historieproposition som skiljer sig från $\,\beta$ genom att inkludera propositionen "alltid sant" vid varje gång $\,t_{i}$ kan bildas. På detta sätt kan de temporala stöden för $\,\alpha ,\beta$ alltid sammanfogas. Vi ska därför anta att alla homogena historier delar samma tidsmässiga stöd.

Vi presenterar nu de logiska operationerna för homogena historiepropositioner $\,\alpha$ och $\,\beta$ så att ${\hat {\alpha } }{\hat {\beta }}={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }}$

Konjunktion (AND)

Om $\alpha$ och $\beta$ är två homogena historier så är historiesatsen " $\,\alpha$ och ${\displaystyle \,\beta } "$ också en homogen historia . Den representeras av projektionsoperatören

${\widehat {\alpha \wedge \beta }}:={\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}$$(={\hat {\beta }}{\hat {\alpha }})$

Disjunktion (ELLER)

Om $\alpha$ och $\beta$ är två homogena historier så är historiesatsen " $\,\alpha$ eller $\,\beta$ i allmänhet inte en homogen historia. Den representeras av projektionsoperatören

${\widehat {\alpha \vee \beta }}:={\hat {\alpha }}+{\hat {\beta }} -{\hat {\alpha }}{\hat {\beta }}$

Negation (INTE)

Negationsoperationen i projektionsoperatorernas gitter tar ${\hat {P}}$ till

$\neg {\hat {P}}:=\mathbb {I} -{\hat {P}}$

där $\mathbb {I}$ är identitetsoperatorn på Hilbert-utrymmet. Således är projektorn som används för att representera propositionen $\neg \alpha$ (dvs. "inte ${\displaystyle \alpha } ")$

${\widehat {\neg \alpha }}:=\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}.$

Exempel: Tvågångshistorik

Som ett exempel, betrakta negationen av den tvågångshomogena historiesatsen $\,\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2})$ . Projektorn som ska representera propositionen $\neg \alpha$ är

${\widehat {\neg \alpha }}=\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} -{\hat {\alpha }} _{1}\ibland {\hat {\alpha }}_{2}$$=(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\ibland {\hat {\alpha }}_{2}+{\ hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})+(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{ 1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$

Termerna som förekommer i detta uttryck:

• $(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\ibland {\hat {\alpha }}_{2}$
• ${\hat {\alpha }}_{1}\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$
• $(\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{1})\otimes (\mathbb {I} -{\hat {\alpha }}_{2})$ .

kan var och en tolkas på följande sätt:

• $\,\alpha _{1}$ är falskt och $\,\alpha _{2}$ är sant
• $\,\alpha _{1}$ är sant och $\,\alpha _{2}$ är falskt
• både $\,\alpha _{1}$ är falsk och $\,\alpha _{2}$ är falsk

Dessa tre homogena historier, sammanfogade med OR-operationen, inkluderar alla möjligheter för hur propositionen " $\,\alpha _{1}$ och sedan $\,\alpha _{2}$ " kan vara falskt. Vi ser därför att definitionen av ${\widehat {\neg \alpha }}$ överensstämmer med vad påståendet $\neg \alpha$ ska betyda.

• CJ Isham, Quantum Logic and the Histories Approach to Quantum Theory , J. Math. Phys. 35 (1994) 2157-2185, arXiv:gr-qc/9308006v1