Gruppåtgärder i beräkningsanatomi

Gruppåtgärder är centrala för Riemannsk geometri och definierande banor (kontrollteori) . Beräkningsanatomins banor består av anatomiska former och medicinska bilder ; de anatomiska formerna är undergrenar av differentialgeometri bestående av punkter, kurvor, ytor och delvolymer. Detta generaliserade idéerna om de mer bekanta banor av linjär algebra som är linjära vektorrum . Medicinska bilder är skalära bilder och tensorbilder från medicinsk bildbehandling . Gruppåtgärderna används för att definiera modeller av mänsklig form som rymmer variation. Dessa banor är deformerbara mallar som ursprungligen formulerades mer abstrakt i mönsterteorin .

Banmodellen för beräkningsanatomi

Den centrala modellen för mänsklig anatomi inom beräkningsanatomi är en grupp- och grupphandling, en klassisk formulering från differentialgeometri . Banan kallas utrymmet av former och former . Formutrymmet betecknas $m\in {\mathcal {M}}$ , med gruppen $({\mathcal {G}},\circ )$ med lag av komposition $\circ$ ; gruppens verkan på former betecknas $g\cdot m$ , där aktionen för gruppen $g\cdot m\in {\mathcal {M }},m\in {\mathcal {M}}$ är definierad för att uppfylla

(g\circ g^{\prime })\cdot m=g\cdot (g^{\prime }\cdot m)\in {\mathcal {M}}.

Mallens bana ${\mathcal {M}}$ blir utrymmet för alla former, ${\mathcal {M} }\doteq \{m=g\cdot m_{\mathrm {temp} },g\in {\mathcal {G}}\}$ .

Flera gruppaktioner inom beräkningsanatomi

Den centrala gruppen i CA definierad på volymer i ${\mathbb {R} }^{3}$ är diffeomorfismgruppen ${\mathcal {G}}\doteq \mathrm {Diff}$ som är mappningar med 3-komponenter ${\displaystyle \phi (\cdot )=(\phi _{ 1}(\cdot ),\phi _{2}(\cdot ),\phi _{3}(\cdot ))} , lagen$ om funktioners sammansättning ${\displaystyle \phi \circ \phi ^{\prime }(\cdot )\doteq \phi (\phi ^{\prime }(\cdot ))} , med$ invers $\phi \circ \phi ^{-1}(\cdot )=\phi (\phi ^{-1}(\cdot ))=\operatörsnamn {id }$ .

Submanifolds: organ, subkortikala strukturer, diagram och nedsänkningar

För sub- grenrör ${\displaystyle X\subset {\mathbb {R} }^{3}\in {\mathcal {M}}} ,$ parametriserad av ett diagram eller nedsänkning $m(u),u\in U$ , den diffeomorfa åtgärden positionens flöde

\phi \cdot m(u)\doteq \phi \circ m(u),u\in U

.

Skalära bilder som MRI, CT, PET

Mest populära är skalära bilder, ${\displaystyle I(x),x\in {\mathbb {R} }^{3}} ,$ med handling till höger via inversen.

\phi \cdot I(x)=I\circ \phi ^{-1}(x),x\in { \mathbb {R} }^{3}

.

Orienterade tangenter på kurvor, egenvektorer för tensormatriser

Många olika bildbehandlingsmetoder används med olika åtgärder. För bilder så att $I(x)$ är en tredimensionell vektor då

\varphi \cdot I=((D\varphi )\,I)\circ \varphi ^{-1},

\varphi \star I=((D\varphi ^{T})^{-1}I)\circ \varphi ^{-1}

Tensormatriser

Cao et al. undersökte åtgärder för kartläggning av MRI-bilder uppmätta via diffusionstensoravbildning och representerade via dess princip egenvektor. För tensorfält en positivt orienterad ortonormal bas $I(x)=(I_{1}(x),I_ {2}(x),I_{3}(x))$ av ${\mathbb {R} }^{3}$ , benämnda ramar, vektorkorsprodukt betecknad $I_{1}\ gånger I_{2}$ då

\varphi \cdot I=\left({\frac {D\varphi I_{1}}{\| D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\ gånger D\varphi \,I_{1}}{\ |(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\ gånger D\varphi \,I_{1}\|}},{\frac {(D\varphi ^{T})^{ -1}I_{3}}{\|(D\varphi ^{T})^{-1}I_{3}\|}}\right)\circ \varphi ^{-1}\ ,

Frénet-ramen av tre ortonormala vektorer, $I_{1}$ deformeras som en tangent, $I_{3}$ deformeras som en normal till planet som genereras av $I_{1}\ gånger I_{2}$ och $I_{3}$ . H är unikt begränsad av att basen är positiv och ortonormal.

För $3\x 3$ icke-negativa symmetriska matriser skulle en åtgärd bli $\varphi \cdot I=(D\ varphi \,ID\varphi ^{T})\circ \varphi ^{-1}$ .

För kartläggning av MRI DTI-bilder (tensorer) bevaras egenvärden med diffeomorfismens roterande egenvektorer och bevarar egenvärdena. Givet egenelement $\{\lambda _{i},e_{i},i=1,2,3\}$ så blir åtgärden

\displaystyle \varphi \cdot I\doteq ( \lambda _{1}{\hat {e}}_{1}{\hat {e}}_{1}^{T}+\lambda _{2}{\hat {e}}_{2} {\hat {e}}_{2}^{T}+\lambda _{3}{\hat {e}}_{3}{\hat {e}}_{3}^{T})\ circ \varphi ^{-1}}

{\hat {e}}_{1}={\frac { D\varphi e_{1}}{\|D\varphi e_{1}\|}}\ ,{\hat {e}}_{2}={\frac {D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}}{\|D\varphi e_{2}-\langle {\hat {e}}_{1},(D\varphi e_{2}\rangle {\hat {e}}_{1}\|}}\ ,\ {\hat {e}}_{3}\doteq {\hat {e}}_{1}\times {\hat {e}}_{2}\ .

Orienteringsfördelningsfunktion och hög vinkelupplösning HARDI

Orienteringsfördelningsfunktion (ODF) karakteriserar vinkelprofilen för diffusionssannolikhetstäthetsfunktionen för vattenmolekyler och kan rekonstrueras från High Angular Resolution Diffusion Imaging (HARDI). ODF är en sannolikhetstäthetsfunktion definierad på en enhetssfär, ${\mathbb {S} }^{2}$ . Inom området för informationsgeometri bildar utrymmet för ODF en Riemann-manifold med Fisher-Rao-metriken. För syftet med LDDMM ODF-mappning väljs kvadratrotsrepresentationen eftersom den är en av de mest effektiva representationerna som hittills hittats eftersom de olika Riemann-operationerna, såsom geodetik, exponentialkartor och logaritmkartor, är tillgängliga i sluten form. I det följande betecknar kvadratrots-ODF ( ${\sqrt {\text{ODF}}}$ ) som ${\displaystyle \psi ({\bf {s}})} ,$ där $\psi ({\bf {s}})$ är icke-negativ för att säkerställa unikhet och $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\psi ^{2}({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ .

Beteckna diffeomorf transformation som $\phi$ . Gruppverkan av diffeomorfism på $\psi ({\bf {s}})$ , $\phi \cdot \psi$ , måste garantera icke-negativiteten och $\int _{{\bf {s}}\in {\mathbb {S} }^{2}}\phi \cdot \psi ^{2 }({\bf {s}})d{\bf {s}}=1$ . Baserat på härledningen i definieras denna gruppåtgärd som

{\begin{aligned}(D\phi )\psi \circ \phi ^{-1}(x)={\ sqrt {\frac {\det {{\bigl (}D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}}{\left\|{{\bigl (}D_{ \phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}}{\bf {s}}\right\|^{3}}}}\quad \psi \left({\frac { (D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}}{\|(D_{\phi ^{-1}}\phi {\bigr )}^{-1}{\bf {s}}\|}},\phi ^{-1}(x)\right),\end{aligned}}

där $(D\phi )$ är jakobisk för $\phi$ .