Griffiths ojämlikhet

Inom statistisk mekanik är Griffiths ojämlikhet , ibland även kallad Griffiths–Kelly–Sherman ojämlikhet eller GKS ojämlikhet , uppkallad efter Robert B. Griffiths , en korrelationsojämlikhet för ferromagnetiska spinnsystem. Informellt sägs det att i ferromagnetiska spinnsystem, om 'a-priori-fördelningen' av spinnet är invariant under spin flipping, är korrelationen av någon monomial av spinnen icke-negativ; och tvåpunktskorrelationen för två monomer av spinnen är icke-negativ.

Ojämlikheten bevisades av Griffiths för Ising ferromagneter med tvåkroppsinteraktioner, generaliserades sedan av Kelly och Sherman till interaktioner som involverade ett godtyckligt antal snurr, och sedan av Griffiths till system med godtyckliga snurr. En mer allmän formulering gavs av Ginibre , och kallas nu Ginibre-ojämlikheten .

Definitioner

Låt $\textstyle \sigma =\{\sigma _{j}\}_{j\in \Lambda }$ vara en konfiguration av (kontinuerliga eller diskreta) snurr på ett gitter Λ . Om A ⊂ Λ är en lista över gitterplatser, eventuellt med dubbletter, låt $\textstyle \sigma _{A}=\prod _{j\in A}\sigma _{ j}$ vara produkten av snurren i A .

Tilldela ett a-priori mått dμ(σ) på snurren; låt H vara en energifunktionell av formen

$H(\sigma )=-\summa _{A}J_{A}\sigma _{A}~,$

där summan är över listor över platser A , och låt

$Z=\int d\mu (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

vara partitionsfunktionen . Som vanligt,

$\langle \cdot \rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{\sigma }\cdot (\sigma )e^{-H(\sigma )}$

står för ensemble-genomsnittet .

Systemet kallas ferromagnetiskt om, för någon lista av platser A , JA ≥ _A ≥ 0invariant under spin flipping if, for any j in Λ, the measure μ is preserved under the sign flipping map σ → τ, where

$\tau _{k}={\begin{cases}\sigma _{k},&k\neq j,\\-\sigma _{k},&k=j.\end{cases}}$

Uttalande av ojämlikheter

Först Griffiths ojämlikhet

I ett ferromagnetiskt spinnsystem som är invariant under spin flipping,

$\langle \sigma _{A}\rangle \geq 0$

för valfri lista med snurr A .

Andra Griffiths ojämlikhet

I ett ferromagnetiskt spinnsystem som är invariant under spin flipping,

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle \geq \langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle$

för alla listor med snurr A och B .

Den första olikheten är ett specialfall av den andra, motsvarande B = ∅.

Bevis

Observera att partitionsfunktionen är icke-negativ per definition.

Bevis på första ojämlikhet : Expandera

$e^{-H(\sigma )}=\prod _{B}\sum _{k\geq 0}{\frac {J_{B}^{k}\sigma _{B}^{ k}}{k!}}=\summa _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}\sigma _ {B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}~,$

sedan

${\begin{aligned}Z\langle \sigma _{A}\rangle &=\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}e^{-H(\sigma )}=\summa _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}}\int d\mu (\sigma )\sigma _{A}\sigma _{B}^{k_{B}}\ \&=\summa _{\{k_{C}\}_{C}}\prod _{B}{\frac {J_{B}^{k_{B}}}{k_{B}!}} \int d\mu (\sigma )\prod _{j\in \Lambda }\sigma _{j}^{n_{A}(j)+k_{B}n_{B}(j)}~,\ end{aligned}}$

där n _A (j) står för antalet gånger som j förekommer i A . Nu, genom invarians under spin flipping,

$\int d\mu (\sigma )\prod _{j}\sigma _{j}^{n(j)}=0$

om minst ett n(j) är udda, och samma uttryck är uppenbarligen icke-negativt för jämna värden på n . Därför är Z < σ _A >≥0, därav också < σ _A >≥0.

Bevis på andra ojämlikhet . För den andra Griffiths olikhet, dubbla den slumpmässiga variabeln, dvs betrakta en andra kopia av snurret, $\sigma '$ , med samma fördelning av $\sigma$ . Sedan

$\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle =\langle \langle \sigma _{A }(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\rangle \rangle ~.$

Introducera de nya variablerna

$\sigma _{j}=\tau _{j}+\tau _{j}'~,\qquad \sigma '_{j}=\tau _{j}-\tau _{j}' ~.$

Det dubbla systemet $\langle \langle \;\cdot \;\rangle \rangle$ är ferromagnetiskt i $\tau ,\tau '$ eftersom $-H(\sigma )-H(\sigma ')$ är ett polynom i $\tau ,\tau '$ med positiva koefficienter

${\begin{aligned}\summa _{A}J_{A}(\sigma _{A}+\sigma '_{A})&=\summa _{A }J_{A}\summa _{X\delmängd A}\left[1+(-1)^{|X|}\right]\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}\end {Justerat}}$

Förutom måttet på $\tau ,\tau '$ invariant under spin flipping eftersom $d\mu (\sigma )d\mu (\ sigma ')$ är. Slutligen är monomialerna $\sigma _{A}$ , $\sigma _{B}-\sigma '_{B}$ polynom i $\tau ,\tau '$ med positiva koefficienter

${\begin{aligned}\sigma _{A}&=\sum _{X\subset A}\tau _{A\setminus X}\tau '_{X}~,\\\sigma _{ B}-\sigma '_{B}&=\summa _{X\subset B}\left[1-(-1)^{|X|}\right]\tau _{B\setminus X}\tau '_{X}~.\end{aligned}}$

Den första Griffiths olikhet tillämpas på $\langle \langle \sigma _{A}(\sigma _{B}-\sigma '_{B})\ rangle \rangle$ ger resultatet.

Mer information finns i och.

Förlängning: Ginibre ojämlikhet

Ginibre -ojämlikheten är en förlängning, hittad av Jean Ginibre, av Griffiths ojämlikhet.

Formulering

Låt (Γ, μ ) vara ett sannolikhetsutrymme . För funktioner f , h på Γ, beteckna

$\langle f\rangle _{h}=\int f(x)e^{-h(x)}\,d\mu (x){\Big /}\int e^{-h(x )}\,d\mu (x).$

Låt A vara en uppsättning reella funktioner på Γ så att. för varje f ₁ , f ₂ ,..., f _n i A , och för valfritt tecken ±,

$\iint d\mu (x)\,d\mu (y )\prod _{j=1}^{n}(f_{j}(x)\pm f_{j}(y))\geq 0.$

Sedan, för alla f , g ,− h i den konvexa konen som genereras av A ,

$\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\geq 0.$

Bevis

Låta

$Z_{h}=\int e^{-h(x)}\,d\mu (x).$

Sedan

${\begin{aligned}&Z_{h}^{2}\left(\langle fg\rangle _{h}-\langle f\rangle _{h}\langle g\rangle _{h}\right )\\&\qquad =\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y))e^{-h(x)-h(y )}\\&\qquad =\summa _{k=0}^{\infty }\iint d\mu (x)\,d\mu (y)f(x)(g(x)-g(y )){\frac {(-h(x)-h(y))^{k}}{k!}}.\end{aligned}}$

Nu följer ojämlikheten av antagandet och av identiteten

$f(x)={\frac {1}{2}}(f(x)+f(y))+{\frac {1}{2}}(f(x)-f(y) ).$

Exempel

• För att återställa (andra) Griffiths olikhet, ta Γ = {−1, +1} ^Λ , där Λ är ett gitter, och låt μ vara ett mått på Γ som är invariant under teckenvändning. Konen A för polynom med positiva koefficienter uppfyller antagandena om Ginibre-olikheten.
• (Γ, μ ) är en kommutativ kompakt grupp med Haarmåttet , A är konen av reella positiva bestämda funktioner på Γ.
• Γ är en totalt ordnad uppsättning , A är konen av verkliga positiva icke-minskande funktioner på Γ. Detta ger Chebyshevs summaojämlikhet . För utökning till delvis beställda set, se FKG olikhet .

Ansökningar

• Den termodynamiska gränsen för korrelationerna för den ferromagnetiska Ising-modellen (med icke-negativt yttre fält h och fria randvillkor) existerar.

Detta eftersom att öka volymen är detsamma som att slå på nya kopplingar J _B för en viss delmängd B . Vid sekunden Griffiths olikhet

${\frac {\partial }{B}partial J\_ langle \sigma _{A}\rangle =\langle \sigma _{A}\sigma _{B}\rangle -\langle \sigma _{A}\rangle \langle \sigma _{B}\rangle \geq 0$

Därför ökar $\langle \sigma _{A}\rangle$ monotont med volymen; sedan konvergerar den eftersom den begränsas av 1.

• Den endimensionella, ferromagnetiska Ising-modellen med interaktioner $J_{x,y}\sim |xy|^{-\alpha }$ visar en fasövergång om $1<\alpha <2$ .

Denna egenskap kan visas i en hierarkisk approximation, som skiljer sig från den fullständiga modellen genom frånvaron av vissa interaktioner: argumenterar som ovan med den andra Griffiths olikhet, resultaten bär över hela modellen.

• Ginibre-ojämlikheten ger förekomsten av den termodynamiska gränsen för den fria energin och spinkorrelationerna för den tvådimensionella klassiska XY-modellen . Dessutom, genom Ginibre-olikhet, bevisade Kunz och Pfister närvaron av en fasövergång för den ferromagnetiska XY-modellen med interaktion $J_{x,y}\sim |xy|^{-\alpha }$ om $2<\alpha <4$ .
• Aizenman och Simon använde Ginibre-olikheten för att bevisa att tvåpunktskorrelationen för den ferromagnetiska klassiska XY-modellen i dimension ${\displaystyle D} ,$ koppling $J>0$ och invers temperatur $\beta$ domineras av (dvs. har en övre gräns given av) tvåpunktskorrelationen för den ferromagnetiska Ising-modellen i dimension $D$ , koppling $J>0$ , och invers temperatur $\ beta /2$

${\displaystyle \langle \mathbf {s} _{i}\cdot \mathbf {s} _{j}\rangle _{ J,2\beta }\leq \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{J,\beta }} Därför kan den$

kritiska $\beta$ för XY-modellen inte vara mindre än det dubbla av den kritiska temperaturen för Ising-modellen

${\displaystyle \beta _{c}^{XY}\geq 2\beta _{c}^{\rm {Is}}~;} i$

dimension D = 2 och koppling J = 1, detta ger

$\beta _{c}^{XY}\geq \ln(1+{\sqrt {2}})\approx 0,88~.$

• Det finns en version av Ginibre-ojämlikheten för Coulomb-gasen som innebär att det finns en termodynamisk gräns för korrelationer.
• Andra applikationer (fasövergångar i spinnsystem, XY-modell, XYZ-kvantkedja) granskas i.