Geometrisk–harmonisk medelvärde

₀₀ I matematik definieras det geometriska–harmoniska medelvärdet M( x , y ) av två positiva reella tal x och y på följande sätt: vi bildar det geometriska medelvärdet av g = x och h = y och kallar det g ₁ , dvs. g ₁ är kvadratroten av xy . _ Vi bildar också det harmoniska medelvärdet av x och y och kallar det h ₁ , dvs h ₁ är det reciproka av det aritmetiska medelvärdet av de reciproka x och y . Dessa kan göras sekventiellt (i valfri ordning) eller samtidigt.

Nu kan vi iterera denna operation där g ₁ tar platsen för x och h ₁ tar platsen för y . På detta sätt definieras två inbördes beroende sekvenser ( g _n ) och ( h _{n ):}

$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}h_{n}}}$

och

$h_{n+1}={\frac {2}{{\frac {1}{g_{n}}}+{\frac {1} {h_{n}}}}}$

Båda dessa sekvenser konvergerar till samma tal, som vi kallar det geometriska–harmoniska medelvärdet M( x , y ) av x och y . Det geometriska–harmoniska medelvärdet betecknas också som det harmonisk–geometriska medelvärdet . (jfr Wolfram MathWorld nedan.)

Förekomsten av gränsen kan bevisas med hjälp av Bolzano–Weierstrass teorem på ett sätt som är nästan identiskt med beviset för existensen av aritmetiskt–geometriskt medelvärde .

Egenskaper

M( x , y ) är ett tal mellan det geometriska och harmoniska medelvärdet av x och y ; i synnerhet är det mellan x och y . M( x , y ) är också homogen , dvs om r > 0 så är M( rx , ry ) = r M( x , y ).

Om AG( x , y ) är det aritmetiskt-geometriska medelvärdet så har vi också

$M(x,y)={\frac {1}{AG({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}})}}$

Ojämlikheter

Vi har följande ojämlikhet som involverar de pytagoreiska medelvärdena { H , G , A } och itererade pytagoreiska betyder { HG , HA , GA }:

$\min(x,y)\leq H(x,y)\leq HG(x,y)\leq G(x,y)\leq GA(x,y)\leq A(x,y) \leq \max(x,y)$

där de itererade Pythagoras medel har identifierats med sina delar { H , G , A } i fortlöpande ordning:

• H ( x , y ) är det harmoniska medelvärdet,
• HG ( x , y ) är det harmonisk-geometriska medelvärdet,
• G ( x , y ) = HA ( x , y ) är det geometriska medelvärdet (som också är det övertons-aritmetiska medelvärdet),
• GA ( x , y ) är det geometrisk-aritmetiska medelvärdet,
• A ( x , y ) är det aritmetiska medelvärdet.

Se även

• Aritmetiskt–geometriskt medelvärde
• Aritmetiskt–harmoniskt medelvärde
• Betyda

externa länkar

• Weisstein, Eric W. "Harmonisk-geometriskt medelvärde" . MathWorld .