Geometrisk integrator

Inom det matematiska området för numeriska vanliga differentialekvationer är en geometrisk integrator en numerisk metod som bevarar geometriska egenskaper för det exakta flödet av en differentialekvation.

Pendel exempel

Vi kan motivera studiet av geometriska integratorer genom att överväga rörelsen hos en pendel .

Antag att vi har en pendel vars bob har massan $m=1$ och vars stång är masslös av längd $\ell =1$ . Anta att tyngdaccelerationen är $g=1$ . Beteckna med $q(t)$ stavens vinkelförskjutning från vertikalen och med $p(t)$ pendelns rörelsemängd. Systemets Hamiltonian, summan av dess kinetiska och potentiella energier , är

H(q,p)=T(p)+U(q)={\frac { 1}{2}}p^{2}-\cos q,

vilket ger Hamiltons ekvationer

({\dot {q}},{\dot {p}})=(\partial H/\partial p,-\partial H/\partial q)=(p,-\sin q).\ ,

Det är naturligt att ta konfigurationsutrymmet $Q$ av alla $q$ för att vara enhetscirkeln ${\displaystyle \mathbb {S} ^{1}} ,$ så att $(q,p)$ ligger på cylindern $\mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {R}$ . Däremot tar vi $(q,p)\in \mathbb {R} ^{2}$ , helt enkelt därför att $(q,p)$ -utrymme är då lättare att rita. Definiera $z(t)=(q(t),p(t))^{\mathrm {T} }$ och $f(z)=(p,-\sin q)^{\mathrm {T} }$ . Låt oss experimentera genom att använda några enkla numeriska metoder för att integrera detta system. Som vanligt väljer vi en konstant stegstorlek, $h$ , och för ett godtyckligt icke-negativt heltal $k$ skriver vi $z_{k}: =z(kh)$ . Vi använder följande metoder.

z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k})\,

( explicit Euler ),

z_{k+1}=z_{k}+hf(z_{k+1})\,

( implicit Euler ),

z_{k+1}=z_{k}+hf(q_{k},p_{k+1})\,

( symplektisk Euler ),

z_{k+1}=z_{k}+hf((z_{k+1}+z_{k} )/2)\,

(implicit mittpunktsregel).

(Observera att den symplektiska Eulermetoden behandlar q med den explicita och $p$ med den implicita Eulermetoden.)

₀₀ Observationen att $H$ är konstant längs lösningskurvorna i Hamiltons ekvationer tillåter oss att beskriva systemets exakta banor: de är nivåkurvorna för p $\displaystyle p^{ 2}/2-\cos q}$ . Vi plottar, i $\mathbb {R} ^{2}$ , de exakta banorna och de numeriska lösningarna för systemet. För de explicita och implicita Euler-metoderna tar vi $h=0,2$ , och z = (0,5, 0) respektive (1,5, 0); för de andra två metoderna tar vi $h=0,3$ och z = (0, 0,7), (0, 1,4) och (0, 2,1).

Enkel pendel: banor

Den explicita (resp. implicita) Eulermetoden spiralerar ut från (resp. in till) ursprunget. De andra två metoderna visar det korrekta kvalitativa beteendet, där den implicita mittpunktsregeln stämmer överens med den exakta lösningen i högre grad än den symplektiska Eulermetoden.

Kom ihåg att det exakta flödet $\phi _{t}$ för ett hamiltonskt system med en frihetsgrad är områdesbevarande, i den meningen att

\det {\frac {\partial \phi _{t}}{\partial (q_{0},p_{0})}}=1

för alla

t

.

Denna formel är lätt att verifiera för hand. För vårt pendelexempel ser vi att det numeriska flödet $\Phi _{{\mathrm {eE} },h}:z_{k}\mapsto z_{k +1}$ av den explicita Euler-metoden är inte områdesbevarande; nämligen.,

\det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {eE} },h}(z_{0})={ \begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.

En liknande beräkning kan utföras för den implicita Euler-metoden, där determinanten är

\det {\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {iE} },h}(z_{0})=( 1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.

är dock områdesbevarande:

{\begin{pmatrix}1&-h\\0&1\end{ pmatrix}}{\frac {\partial }{\partial (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE} },h}(z_{0})={\begin {pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},

alltså $\det(\partial \Phi _{{\mathrm {sE} },h}/\partial (q_{0}, p_{0}))=1$ . Den implicita mittpunktsregeln har liknande geometriska egenskaper.

För att sammanfatta: pendelexemplet visar att förutom att de explicita och implicita Euler-metoderna inte är bra val av metod för att lösa problemet, så stämmer den symplektiska Euler-metoden och implicita mittpunktsregeln väl överens med systemets exakta flöde, där mittpunktsregeln överensstämmer. närmare. Dessutom är dessa två sistnämnda metoder områdesbevarande, precis som det exakta flödet är; de är två exempel på geometriska (i själva verket symplektiska ) integratörer.

Metod med rörlig ram

Metoden med rörlig ram kan användas för att konstruera numeriska metoder som bevarar Lie- symmetrier för ODE. Befintliga metoder som Runge-Kutta kan modifieras med hjälp av metoden för rörlig ram för att producera invarianta versioner.

Se även

Vidare läsning

Hårare, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2002). Geometrisk numerisk integration: strukturbevarande algoritmer för vanliga differentialekvationer . Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2 .
Leimkuhler, Ben; Reich, Sebastian (2005). Simulering av Hamiltons dynamik . Cambridge University Press. ISBN 0-521-77290-7 .
Budd, CJ; Piggott, MD (2003). "Geometrisk integration och dess tillämpningar". Handbok för numerisk analys. Vol. 11. Elsevier. s. 35–139. doi : 10.1016/S1570-8659(02)11002-7 . ISBN 9780444512475 .
Kim, Pilwon (2007). "Invariantisering av numeriska scheman med hjälp av rörliga ramar". BIT Numerisk matematik. Vol. 47, nr. 3. Springer. s. 525–546. doi : 10.1007/s10543-007-0138-8 .