Generaliserat spektrogram

För att se en signal (tagen för att vara en funktion av tid) representerad över både tids- och frekvensaxeln, används tid-frekvensrepresentation . Spektrogram är en av de mest populära tidsfrekvensrepresentationerna, och generaliserat spektrogram , även kallat "tvåfönsterspektrogram", är den generaliserade tillämpningen av spektrogram.

Definition

Definitionen av spektrogrammet bygger på Gabor-transformen (även kallad korttids-Fourier-transform, för kort STFT), vars idé är att lokalisera en signal f i tiden genom att multiplicera den med översättningar av en fönsterfunktion $w(t)$ .

Definitionen av spektrogram är

$S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f) =|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}$ ,

där ${G_{x,{w_{1}}}}$ anger Gabor-transformen av $x(t)$ .

Baserat på spektrogrammet definieras det generaliserade spektrogrammet som:

$S{P_{x,{w_{1} },{w_{2}}}}(t,f)={G_{x,{w_{1}}}}(t,f)G_{_{x,{w_{2}}}}^{ *}(t,f)$ ,

var:

${G_{x,{w_{1}}} }\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }{{w_{1}}\left({t-\tau}\right)x\left(\ tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau }}d\tau }$

${G_{x,{w_{2}}}}\left({t,f}\right)=\int _{-\infty }^ {\infty {{w_{2}}\left({t-\tau}\right)x\left(\tau \right)\,{e^{-j2\pi \,f\,\tau } }d\tau }$

För $w_{1}(t)=w_{2}(t)=w(t)$ reduceras det till det klassiska spektrogrammet:

$S{P_{x,w}}(t,f)={G_{x,w}}(t,f)G_{_{x,w}}^{*}(t,f) =|{G_{x,w}}(t,f)|^{2}$

Egenskapen med generaliserat spektrogram är att fönsterstorlekarna för $w_{1}(t)$ och $w_{2}(t)$ är olika. Eftersom tids-frekvensupplösningen kommer att påverkas av fönsterstorleken, om man väljer en bred $w_{1}(t)$ och en smal $w_{1} (t)$ (eller tvärtom), kommer upplösningarna av dem att vara höga i olika delar av spektrogrammet. Efter multiplikationen av dessa två Gabor-transformationer kommer upplösningarna för både tids- och frekvensaxeln att förbättras.

Egenskaper

Relation med Wigner Distribution

${ \displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)=Wig(w_{1}',w_{2}')*Wig(t ,f)(x,w),}$

där $w_{1}'(s ):=w_{1}(-s),w_{2}'(s):=w_{2}(-s)$

Tidsmarginaltillstånd

Det generaliserade spektrogrammet ${\displaystyle {\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)} uppfyller tidsmarginalvillkoret$ om och endast om $w_{1}w_{2}'=\delta$ ,

där $\delta$ betecknar Dirac deltafunktionen

Frekvens marginalvillkor

Det generaliserade spektrogrammet ${\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)$ uppfyller frekvensmarginalvillkoret om och endast om $w_{1}w_{2}'=\delta$ ,

där $\delta$ betecknar Dirac delta-funktionen

Bevarande av energi

Det generaliserade spektrogrammet ${\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)(x,w)$ uppfyller energibevarandet om och endast om $(w_{1},w_{2})=1$ .

Verklighetsanalys

Det generaliserade spektrogrammet ${\mathcal {SP}}_{w_{1},w_{2}}(t,f)( x,w)$ är reell om och endast om $w_{1}=Cw_{2}$ för vissa $C\in \mathbb {R}$ .

• Klassanteckningar om tidsfrekvensanalys och wavelettransform -- från prof. Jian-Jiun Dings kurswebbplats
• P. Boggiatto, G. De Donno och A. Oliaro, " Two window spectrogram and their integrals ," Advances and Applications, vol. 205, s. 251–268, 2009.