Gabor-förvandling

Gabor -transformen , uppkallad efter Dennis Gabor , är ett specialfall av den korta Fourier-transformen . Den används för att bestämma den sinusformade frekvensen och fasinnehållet för lokala sektioner av en signal när den förändras över tiden. Funktionen som ska transformeras multipliceras först med en Gaussfunktion , som kan betraktas som en fönsterfunktion , och den resulterande funktionen transformeras sedan med en Fouriertransform för att härleda tidsfrekvensanalysen . Fönsterfunktionen gör att signalen nära analystillfället får högre vikt. Gabor-transformen av en signal x ( t ) definieras av denna formel:

G_{x}(\tau ,\omega )=\int _ {-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt

Storleken på Gaussisk funktion.

Gaussfunktionen har oändligt räckvidd och den är opraktisk för implementering. En signifikansnivå kan dock väljas (till exempel 0,00001) för fördelningen av Gaussfunktionen.

{\begin{cases}e^{-{\pi }a^{2}}\geq 0,00001;&\left|a\right|\leq 1,9143\\e^{-{\pi } a^{2}}<0.00001;&\left|a\right|>1.9143\end{cases}}

Utanför dessa integrationsgränser ( | $\displaystyle \left|a\right|>1,9143}$ ) är Gauss-funktionen tillräckligt liten för att ignoreras. Således kan Gabor-transformen på ett tillfredsställande sätt approximeras som

G_{x}(\tau) ,\ome =\int _{-1.9143+\tau }^{1.9143+\tau }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\, dt

Denna förenkling gör Gabor-transformen praktisk och realiserbar.

Fönsterfunktionsbredden kan också varieras för att optimera tids-frekvensupplösningsavvägningen för en viss applikation genom att ersätta ${-{\pi }(t-\tau )^{2} }$ med ${-{\pi }\alpha (t-\tau )^{2}}$ för vissa valda $\alpha$ .

Omvänd Gabor-transform

Gabor-transformen är inverterbar. Eftersom den är överfullständig kan den ursprungliga signalen återställas på en mängd olika sätt. Till exempel kan metoden "avfönster" användas för alla $\tau _{0}\in (-\infty ,\infty )$ :

x(t)=e^{\pi (t-\ tau _{0})^{2}}{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau _{0},\omega )e^{j\omega t}\,d\omega

Alternativt kan alla tidskomponenter kombineras:

x(t)=\int _{-\infty }^{\ infty }{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\ omega \,d\tau

Gabor-transformens egenskaper

Gabor-transformen har många egenskaper som Fourier-transformens. Dessa egenskaper listas i följande tabeller.

	Signal	Gabor-förvandling	Anmärkningar
	$x(t)\,$	$G_{x}(\tau ,\omega )=\int _ {-\infty }^{\infty }x(t)e^{-\pi (t-\tau )^{2}}e^{-j\omega t}\,dt$
1	$a\cdot x(t)+b\cdot y(t)\,$	$a\cdot G_{x}(\tau ,\omega )+b\cdot G_{y}(\tau ,\omega )\,$	Linjäritetsegenskap
2	$x(t-t_{0})\,$	$G_{x}(\tau -t_{0},\omega )e^{-j\omega t_{0}}\,$	Förskjutning av egendom
3	$x(t)e^{j\omega _{0}t}\,$	$G_{x}(\tau ,\omega -\omega _{0})\,$	Modulationsegenskap

		Anmärkningar
1	$\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2} \,d\omega =\int _{-\infty }^{\infty }\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2} }dt\approx \int _{\tau -1.9143}^{\tau +1.9143}\left\|x(t)\right\|^{2}e^{-2\pi (t-\tau )^{2 }}dt$	Effektintegrationsegenskap
2	$_ -\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\tau ,\omega )G_{y}^{}(\tau ,\omega )\, d\omega \,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }x(t)y^{}(t)\,d\tau }$	Energisumma egendom
3	${\begin{cases}\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x} (\tau ,\omega )\right\|^{2}d\omega <e^{-2\pi (t-t_{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau _{0},\omega )\right\|^{2}\,d\omega ;&{\text{if }}x(t)=0{\text{ för }}t>t_{0}\\[12pt]\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau ,\omega )\right\|^{2} \,d\tau <e^{-(\omega -\omega _{0})^{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\left\|G_{x}(\tau , \omega _{0})\right\|^{2}\,d\tau ;&{\text{if }}X(\omega )=FT[x(t)]=0{\text{ för }} \omega >\omega _{0}\end{cases}}$	Kraftförfallsegenskap
4	$\int _{-\infty }^{\infty }G_{x}(\ tau ,\omega )e^{j\omega t}\,d\omega =2\pi e^{-\pi \tau ^{2}}x(0)$	Återvinningsegendom

Tillämpning och exempel

Tid/frekvensfördelning.

Huvudapplikationen för Gabor-transformen används i tid-frekvensanalys . Ta följande funktion som exempel. Insignalen har 1 Hz frekvenskomponent när t ≤ 0 och har 2 Hz frekvenskomponent när t > 0

x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t )&{\text{för }}t\leq 0,\\\cos(4\pi t)&{\text{för }}t>0.\end{cases}}

slösas andra frekvensband utom x ( t ). Genom tids-frekvensanalys genom att tillämpa Gabor-transformen kan den tillgängliga bandbredden vara känd och dessa frekvensband kan användas för andra applikationer och bandbredden sparas. Den högra bilden visar insignalen x ( t ) och utsignalen från Gabor-transformen. Som vi förväntade oss kan frekvensfördelningen delas upp i två delar. Den ena är t ≤ 0 och den andra är t > 0. Den vita delen är frekvensbandet som upptas av x ( t ) och den svarta delen används inte. Observera att det för varje tidpunkt finns både en negativ (övre vit del) och en positiv (nedre vita del) frekvenskomponent.

Diskret Gabor-förvandling

En diskret version av Gabor-representation

y(t)=\summa _{m=-\infty }^{\infty } \sum _{n=-\infty }^{\infty }C_{nm}\cdot g_{nm}(t)

med $g_{nm}(t)=s(tm\tau _{0})\cdot e^{j\Omega nt}$

kan enkelt härledas genom att diskretisera Gabor-bas-funktionen i dessa ekvationer. Härigenom ersätts den kontinuerliga parametern t med den diskreta tiden k . Dessutom måste den nu ändliga summationsgränsen i Gabor-representation beaktas. delas den samplade signalen y ( k ) upp i M tidsramar med längden N. Enligt ${\displaystyle \Omega \leq {\tfrac {2\pi }{\tau _{0}}}} är$ faktorn Ω för kritisk sampling $\Omega ={\tfrac {2\pi }{N}}$ .

erhålls en frekvensdomän uppdelad i N diskreta partitioner. En omvänd transformation av dessa N spektrala partitioner leder sedan till N värden y ( k ) för tidsfönstret, som består av N sampelvärden. För övergripande M tidsfönster med N sampelvärden innehåller varje signal y ( k ) K = N $\cdot$ M sampelvärden: (den diskreta Gabor-representationen)

y(k)=\summa _{m=0}^{M-1}\ summa _{n=0}^{N-1}C_{nm}\cdot g_{nm}(k)

med $g_{nm}(k)=s(k-mN)\cdot e^{j\Omega nk}$

Enligt ekvationen ovan motsvarar N $\cdot$ M -koefficienterna $C_{nm}$ antalet sampelvärden K för signalen.

För översampling $\Omega$ är satt till $\Omega \leq {\tfrac {2\pi }{N}}={\tfrac {2\ pi }{N^{\prime }}}$ med N ′ > N , vilket resulterar i N ′ > N summeringskoefficienter i den andra summan av den diskreta Gabor-representationen. I detta fall skulle antalet erhållna Gabor-koefficienter vara M $\cdot$ N ′ > K . Följaktligen finns fler koefficienter än urvalsvärden tillgängliga och därför skulle en redundant representation uppnås.

Skalad Gabor-transform

Precis som vid korttids Fouriertransformation kan upplösningen i tids- och frekvensdomän justeras genom att välja olika fönsterfunktionsbredder. I Gabor transformera fall, genom att lägga till varians $\sigma$ , som följande ekvation:

Det skalade (normaliserade) Gaussiska fönstret anger som:

W_{\text{gaussian}}(t)=e^{-\sigma \pi t^{2}}

Så den skalade Gabor-transformen kan skrivas som:

G_{x}(t,f)= {\sqrt[{4}]{\sigma }}\textstil \int _{-\infty }^{\infty }\displaystyle e^{-\sigma \pi (\tau -t)^{2}}e ^{-j2\pi f\tau }x(\tau )d\tau \qquad

Med en stor $\sigma$ kommer fönsterfunktionen att vara smal, vilket orsakar högre upplösning i tidsdomänen men lägre upplösning i frekvensdomänen. På samma sätt kommer en liten $\sigma$ att leda till ett brett fönster, med högre upplösning i frekvensdomänen men lägre upplösning i tidsdomänen.

Tidskausal analog av Gabor-transformen

Vid bearbetning av tidssignaler kan data från framtiden inte nås, vilket leder till problem om man försöker använda Gabor-funktioner för att bearbeta realtidssignaler. En tidskausal analog av Gabor-filtret har utvecklats baserat på att ersätta den Gaussiska kärnan i Gabor-funktionen med en tidskausal och tidsrekursiv kärna som kallas den tidskausala gränskärnan. På detta sätt gör tidsfrekvensanalys baserad på den resulterande komplext värderade utvidgningen av den tidskausala gränskärnan det möjligt att fånga upp väsentligen liknande transformationer av en tidssignal som Gabor-funktionen kan, och motsvarande Heisenberg-gruppen, se för ytterligare detaljer.

Se även

D. Gabor, Theory of Communication, Del 1, J. Inst. av utvalda. Eng. Del III, Radio och kommunikation, vol 93, sid. 429 1946 ( http://genesis.eecg.toronto.edu/gabor1946.pdf )
Jian-Jiun Ding, Klassanteckning för tidsfrekvensanalys och wavelettransform, Institutionen för elektroteknik, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.