Generaliserad Fourier-serie

I matematisk analys har många generaliseringar av Fourier-serier visat sig vara användbara. De är alla specialfall av nedbrytningar över en ortonormal basis av ett inre produktutrymme . Här betraktar vi det för kvadratintegrerbara funktioner definierade på ett intervall av den reella linjen , vilket är viktigt bland annat för interpolationsteorin .

Definition

Betrakta en uppsättning kvadratintegrerbara funktioner med värden i $\mathbb {F} =\mathbb {C}$ eller $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ ,

$$\Phi =\{\varphi _{n}:[a,b]\to \mathbb {F} \}_{n =0}^{\infty },$$

som är parvis ortogonala för den inre produkten

$$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b} f(x)\,{\overline {g}}(x)\,w(x)\,dx$$

där $w(x)$ är en viktfunktion och ${\overline {\cdot }}$ representerar komplex konjugation , dvs. ${ \displaystyle {\overline {g}}(x)=g(x)}$ för $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ .

Den generaliserade Fourierserien av en kvadratintegrerbar funktion ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {F} } ,$ med avseende på Φ, är då

$$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}( x),$$

där koefficienterna ges av

$$c_{n}={\langle f,\varphi _{n}\rangle _{w} \over \|\varphi _{n}\|_{w}^{2}}.$$

Om Φ är en komplett mängd, dvs en ortogonal bas av rymden för alla kvadratintegrerbara funktioner på [ a , b ], i motsats till en mindre ortogonal mängd, blir relationen $\sim$ likhet i L :et ² sense, närmare bestämt modulo $|\cdot |_{w}$ (inte nödvändigtvis punktvis, inte heller nästan överallt ).

Exempel (Fourier–Legendre-serien)

Legendre -polynomen är lösningar på Sturm-Liouville-problemet

$\left((1-x^{2})P_{n}'(x )\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0$

och på grund av Sturm-Liouvilles teori är dessa polynom egenfunktioner till problemet och är lösningar ortogonala med avseende på den inre produkten ovan med viktenhet. Så vi kan bilda en generaliserad Fourier-serie (känd som en Fourier-Legendre-serie) som involverar Legendre-polynomen, och

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}P_{n}(x) ,$

$c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\ |_{w}^{2}}$

Låt oss som ett exempel beräkna Fourier–Legendre-serien för f ( x ) = cos x över [−1, 1]. Nu,

${\ displaystyle {\begin{aligned}c_{0}&={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^ {2}\,dx}=\sin {1}\\c_{1}&={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1 }^{1}x^{2}\,dx}={0 \över 2/3}=0\\c_{2}&={\int _{-1}^{1}{3x^{2 }-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx} ={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}}$

och en serie som involverar dessa termer

${\begin{aligned}c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{ 1}(x)+c_{0}P_{0}(x)&={5 \över 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}- 1 \over 2}\right)+\sin 1\\&=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin { 1}-{15 \over 2}\cos {1}\end{aligned}}$

som skiljer sig från cos x med ungefär 0,003, ungefär 0. Det kan vara fördelaktigt att använda sådana Fourier–Legendre-serier eftersom egenfunktionerna alla är polynom och därför är integralerna och därmed koefficienterna lättare att beräkna.

Koefficientsatser

Några satser om koefficienterna c _n inkluderar:

Bessels ojämlikhet

$\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w( x)\,dx.$

Parsevals teorem

Om Φ är en komplett uppsättning, då

$\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}w(x )\,dx.$

Se även

• Banach utrymme
• Egenfunktioner
• Fraktionell Fouriertransform
• Funktionsutrymme
• Hilbert utrymme
• Minsta kvadraters spektralanalys
• Ortogonal funktion
• Ortogonalitet
• Topologiskt vektorutrymme
• Vektor utrymme