Gaussisk korrelationsojämlikhet

Den gaussiska korrelationsojämlikheten anger att sannolikheten att träffa både cirkel och rektangel med en pil är större än eller lika med produkten av de individuella sannolikheterna att träffa cirkeln eller rektangeln.

Gaussisk korrelationsojämlikhet ( GCI ), tidigare känd som Gaussisk korrelationsförmodan ( GCC ), är en matematisk teorem inom matematisk statistik och konvex geometri .

Påståendet

Den Gaussiska korrelationsojämlikheten säger:

Låt $\mu$ vara ett n -dimensionellt Gaussiskt sannolikhetsmått på $\mathbb {R} ^{n}$ , dvs $\mu$ en multivariat normalfördelning , centrerad vid origo . Sedan för alla konvexa mängder $E,F\subset \mathbb {R} ^{n}$ som är symmetriska om ursprunget ,

$\mu (E\cap F)\geq \mu (E)\cdot \mu (F).$

Som ett enkelt exempel för n =2 kan man tänka sig att pilar kastas mot en bräda, med sina landningsplatser i planet fördelade enligt en 2-variabel normalfördelning centrerad vid origo. (Detta är ett rimligt antagande för en given dartspelare, där olika spelare beskrivs av olika normalfördelningar.) Om vi ​​nu betraktar en cirkel och en rektangel i planet, båda centrerade vid origo, då är andelen pilar som landar i skärningspunkten mellan båda formerna är inte mindre än produkten av proportionerna mellan pilarna som landar i varje form. Detta kan också formuleras i termer av villkorade sannolikheter : om du får information om att din senaste pil träffade rektangeln, kommer denna information att öka din uppskattning av sannolikheten att pilen träffade cirkeln.

Historia

Ett specialfall av ojämlikheten antogs 1955; vidareutveckling gavs av Olive Jean Dunn 1958. Det allmänna fallet angavs 1972, även det som en gissning. Fallet med dimension n =2 bevisades 1977 och vissa specialfall av högre dimension har också bevisats under efterföljande år.

Det allmänna fallet med ojämlikheten förblev öppet fram till 2014, då Thomas Royen , en pensionerad tysk statistiker, bevisade det med relativt elementära verktyg. Faktum är att Royen generaliserade gissningen och bevisade den för multivariata gammafördelningar . Beviset fick inte uppmärksamhet när det publicerades 2014, på grund av Royens relativa anonymitet och att beviset publicerades i en rovtidskrift . En annan anledning var en historia av falska bevis (av andra) och många misslyckade försök att bevisa gissningarna, vilket orsakade skepsis bland matematiker inom området.

Gissningen och dess lösning kom till allmänhetens uppmärksamhet 2017, när andra matematiker beskrev Royens bevis i en vanlig publikation och populära media rapporterade om historien.

externa länkar

• George Lowther, The Gaussian Correlation Conjecture , "Nästan säker"