Furstenbergs bevis på primtalens oändlighet

Inom matematiken , särskilt inom talteorin , är Hillel Furstenbergs bevis på oändligheten av primtal ett topologiskt bevis på att heltal innehåller oändligt många primtal . När det granskas noggrant är beviset mindre ett påstående om topologi än ett påstående om vissa egenskaper hos aritmetiska sekvenser . Till skillnad från Euklids klassiska bevis är Furstenbergs bevis ett bevis genom motsägelse . Beviset publicerades 1955 i American Mathematical Monthly medan Furstenberg fortfarande var en student vid Yeshiva University .

Furstenbergs bevis

Definiera en topologi på heltalen ${\displaystyle \mathbb {Z} } ,$ kallad den jämnt fördelade heltalstopologin , genom att förklara en delmängd U ⊆ $\mathbb {Z}$ som en öppen mängd om och bara om den är en förening av aritmetiska sekvenser S ( a , b ) för a ≠ 0, eller är tom (vilket kan ses som en nullär union (tom union) av aritmetiska sekvenser), där

S(a,b)=\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \}=a\mathbb {Z} +b.

På motsvarande sätt är U öppen om och endast om det för varje x i U finns något heltal som inte är noll, så att S ( a , x ) ⊆ U . Axiomen för en topologi är lätt att verifiera:

∅ är öppen per definition, och $\mathbb {Z}$ är bara sekvensen S (1, 0), och så är den också öppen.
mängder är öppen : för varje samling av öppna mängder U _i och x i deras förening U , vilket som helst av talen a _i för vilka S ( a _{i ,} x ) ⊆ U _i också visar att S ( a _{i ,} x ) ⊆ U .
Skärningspunkten mellan två (och därmed ändligt många) öppna mängder är öppen: låt U ₁ och U ₂ vara öppna mängder och låt x ∈ U ₁ ∩ U ₂ (med siffrorna a ₁ och a ₂ etablerar medlemskap). Ange att a är den minsta gemensamma multipeln av en ₁ och en ₂ . Sedan S ( a , x ) ⊆ S ( a _i , x ) ⊆ U _i .

Denna topologi har två anmärkningsvärda egenskaper:

Eftersom varje icke-tom öppen uppsättning innehåller en oändlig sekvens, kan en finit icke-tom uppsättning vara öppen; uttryckt på ett annat sätt, komplementet till en finit icke-tom mängd kan inte vara en sluten mängd .
Basmängderna S ( a , b ) är både öppna och slutna : de är öppna per definition, och vi kan skriva S ( a , b ) som komplement till en öppen mängd enligt följande:

S(a,b)=\mathbb {Z} \setminus \bigcup _{j=1}^{a-1}S(a,b+j).

De enda heltal som inte är heltalsmultiplar av primtal är −1 och +1, dvs

\mathbb {Z} \setminus \{-1,+1\}=\bigcup _{p\mathrm {\,prime} }S(p,0).

Nu, med den första topologiska egenskapen, kan uppsättningen på vänster sida inte stängas. Å andra sidan, genom den andra topologiska egenskapen, stängs mängderna S ( p , 0). Så, om det bara fanns ändligt många primtal, skulle mängden på höger sida vara en ändlig förening av slutna mängder, och därmed sluten. Detta skulle vara en motsägelse , så det måste finnas oändligt många primtal.

Topologiska egenskaper

Den jämnt fördelade heltalstopologin på $\mathbb {Z}$ är topologin som induceras av inkluderingen $\mathbb {Z} \subset {\hat {\mathbb {Z} }}$ , där ${\hat {\mathbb {Z} }}$ är den profinita heltalsringen med dess profinita topologi.

Det är homeomorft till de rationella talen $\mathbb {Q}$ med subrymdstopologin ärvd från den reella linjen , vilket gör det klart att vilken ändlig delmängd som helst av den, såsom $\{-1,+1\}$ , kan inte vara öppen.

Anteckningar

Aigner, Martin ; Ziegler, Günter M. (1998). "Bevis från boken" . Berlin, New York: Springer-Verlag . {{ citera journal }} : Citera journal kräver |journal= ( hjälp )
Furstenberg, Harry (1955). "På primtals oändlighet". American Mathematical Monthly . 62 (5): 353. doi : 10.2307/2307043 . JSTOR 2307043 . MR 0068566 .
Mercer, Idris D. (2009). "Om Furstenbergs bevis på primtalernas oändlighet" ( PDF) . American Mathematical Monthly . 116 (4): 355–356. CiteSeerX 10.1.1.559.9528 . doi : 10.4169/193009709X470218 .
Keith Conrad https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/ugradnumthy/primestopology.pdf
Lovas, R.; Mező, I. (2015). "Några observationer på Furstenbergs topologiska rymden" . Elemente der Mathematik . 70 (3): 103–116. doi : 10.4171/EM/283 . S2CID 126337479 .

externa länkar