Fullständig feedback från staten

Full state feedback (FSF), eller polplacering , är en metod som används i teorin om återkopplingskontrollsystem för att placera en anläggnings slutna poler på förutbestämda platser i s-planet . Placering av poler är önskvärt eftersom placeringen av polerna direkt motsvarar systemets egenvärden , som styr egenskaperna hos systemets svar. Systemet måste anses styrbart för att kunna implementera denna metod.

Princip

System i öppen slinga

Om dynamiken i sluten slinga kan representeras av tillståndsrymdsekvationen (se State space (kontroller) )

${\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u }},$

med utgående ekvation

${\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},$

då är systemöverföringsfunktionens poler rötterna till den karakteristiska ekvationen som ges av

$\left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.$

Fullständig återkoppling används genom att beordra ingångsvektorn ${\underline {u}}$ . Betrakta en ingång som är proportionell (i matrisbemärkelse) mot tillståndsvektorn,

System med tillståndsåterkoppling (sluten slinga)

${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$ .

Om vi ​​ersätter tillståndsrymdsekvationerna ovan har vi

${\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x }}$

${\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.$

Polerna för FSF-systemet ges av den karakteristiska ekvationen för matrisen $\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K}$ , $\det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right ]=0$ . Att jämföra termerna för denna ekvation med de för den önskade karakteristiska ekvationen ger värdena för återkopplingsmatrisen ${\textbf {K}}$ som tvingar egenvärdena med sluten slinga till polplatserna specificerade av den önskade karakteristiska ekvationen.

Exempel på FSF

Betrakta ett system givet av följande tillståndsrymdsekvationer:

${\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\ \1\end{bmatrix}}{\underline {u}}.$

Det okontrollerade systemet har öppna poler vid $s=-1$ och $s=-2$ . Dessa poler är egenvärdena för $\mathbf {A}$ och de är rötterna till $\left|s\mathbf {I} -\mathbf {A} \right|$ . Antag att vi för att överväga svaret önskar att de styrda systemets egenvärden ska vara placerade vid $s=-1$ och $s=-5$ , som inte är de poler vi har för närvarande. Den önskade karakteristiska ekvationen är då ${\displaystyle s^{2}+6s+5=0} ,$ från $(s+1)( s+5)$ .

Genom att följa proceduren som ges ovan är ekvationen för det FSF-styrda systemet

$\left|s\mathbf {I} -\ vänster(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{ 2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1}),$

var

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}.$

När vi sätter denna karakteristiska ekvation lika med den önskade karakteristiska ekvationen finner vi

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}$ .

Inställningen av ${\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}$ tvingar därför polerna med slutna slingor till önskade platser, vilket påverkar svaret som önskad.

Detta fungerar endast för system med enkel ingång. Flera indatasystem kommer att ha en ${\displaystyle {\textbf {K}}}-$ matris som inte är unik. Att välja de bästa ${\displaystyle {\textbf {K}}}-$ värdena är därför inte trivialt. En linjär-kvadratisk regulator kan användas för sådana applikationer .

Se även

• Polklyvning
• Stegsvar
• Ackermanns formel
• Linjär-kvadratisk regulator

externa länkar

• Mathematica-funktion för att beräkna tillståndsåterkopplingsvinsterna