Linjär-kvadratisk regulator

Teorin om optimal styrning handlar om att driva ett dynamiskt system till lägsta kostnad. Det fall där systemdynamiken beskrivs av en uppsättning linjära differentialekvationer och kostnaden beskrivs av en kvadratisk funktion kallas LQ-problemet. Ett av huvudresultaten i teorin är att lösningen tillhandahålls av den linjär-kvadratiska regulatorn ( LQR ), en återkopplingsregulator vars ekvationer ges nedan.

LQR kan köras upprepade gånger med en vikande horisont; detta är en form av modellförutsägande kontroll .

LQR är också en viktig del av lösningen på LQG-problemet (linjär-kvadratiskt-gaussiskt) . Liksom själva LQR-problemet är LQG-problemet ett av de mest grundläggande problemen inom kontrollteorin .

Allmän beskrivning

Inställningarna för en (reglerande) styrenhet som styr antingen en maskin eller process (som ett flygplan eller en kemisk reaktor) hittas genom att använda en matematisk algoritm som minimerar en kostnadsfunktion med viktningsfaktorer som tillhandahålls av en människa (ingenjör). Kostnadsfunktionen definieras ofta som summan av avvikelserna för nyckelmätningar, som höjd eller processtemperatur, från deras önskade värden. Algoritmen hittar alltså de kontrollerinställningar som minimerar oönskade avvikelser. Omfattningen av själva kontrollåtgärden kan också inkluderas i kostnadsfunktionen.

LQR-algoritmen minskar mängden arbete som utförs av kontrollsystemingenjören för att optimera styrenheten. Dock behöver ingenjören fortfarande specificera kostnadsfunktionsparametrarna och jämföra resultaten med de angivna designmålen. Ofta innebär detta att styrenhetskonstruktion kommer att vara en iterativ process där ingenjören bedömer de "optimala" styrenheterna som produceras genom simulering och sedan justerar parametrarna för att producera en styrenhet som är mer överensstämmande med designmålen.

LQR-algoritmen är i huvudsak ett automatiserat sätt att hitta en lämplig tillståndsfeedback-kontroller . Som sådan är det inte ovanligt att regleringenjörer föredrar alternativa metoder, som fullständig återkoppling , även känd som polplacering, där det finns ett tydligare samband mellan styrenhetens parametrar och kontrollens beteende. Svårigheter att hitta rätt viktningsfaktorer begränsar tillämpningen av den LQR-baserade kontrollsyntesen.

Versioner

Finit-horisont, kontinuerlig-tid

För ett kontinuerligt linjärt system, definierat på ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]} ,$ beskrivet av:

${\dot {x}}=Ax+Bu$

där $x\in \mathbb {R} ^{n}$ (det vill säga $x$ är en $n$ -dimensionell realvärderad vektor) är tillståndet för systemet och $u\in \mathbb {R} ^{m}$ är kontrollingången. Givet en kvadratisk kostnadsfunktion för systemet, definierad som:

$J=x^{ T}(t_{1})F(t_{1})x(t_{1})+\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}\left(x^{T}Qx +u^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt$

lagen om återkopplingskontroll som minimerar värdet av kostnaden är:

$​​{\displaystyle u=-Kx\,}$

där $K$ ges av:

$K=R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})\,$

och $P$ hittas genom att lösa den kontinuerliga tiden Riccati differentialekvation :

$A^ {T}P(t)+P(t)A-(P(t)B+N)R^{-1}(B^{T}P(t)+N^{T})+Q=- {\dot {P}}(t)\,$

med gränsvillkoret:

$P(t_{1})=F(t_{1}).$

Första ordningens villkor för J _min är:

1) Tillståndsekvation

${\dot {x}}=Ax+Bu$

2) Co-state ekvation

$-{\dot {\lambda }}=Qx+Nu+A^{T}\lambda$

3) Stationär ekvation

$0=Ru+N^{T}x+B^{T}\lambda$

4) Randvillkor

$x(t_{0})=x_{0}$

och $\lambda (t_{1})=F(t_{1})x(t_{1})$

Oändlig horisont, kontinuerlig tid

För ett kontinuerligt linjärt system beskrivet av:

${\dot {x}}=Ax+Bu$

med en kostnadsfunktion definierad som:

$J=\int _{0}^{\infty }\left(x^{T}Qx+u ^{T}Ru+2x^{T}Nu\right)dt$

lagen om återkopplingskontroll som minimerar värdet av kostnaden är:

$​​{\displaystyle u=-Kx\,}$

där $K$ ges av:

$K=R^{-1}(B^{T}P+N^{T})\,$

och $P$ hittas genom att lösa den kontinuerliga tidsalgebraiska Riccati-ekvationen :

$A^{T}P+PA-(PB+N)R^{-1} (B^{T}P+N^{T})+Q=0\,$

Detta kan också skrivas som:

${\mathcal {A}}^{T}P+P{\mathcal {A}}-PBR^{-1}B ^{T}P+{\mathcal {Q}}=0\,$

med

${\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal { Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}\,$

Finit-horisont, diskret-tid

För ett linjärt tidsdiskret system som beskrivs av:

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,$

med ett prestationsindex definierat som:

${\displaystyle J=x_{H_{ p}}^{T}Qx_{H_{p}}+\summa \limits _{k=0}^{H_{p}-1}\left(x_{k}^{T}Qx_{k}+ u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\right)} , där$ H $\displaystyle H_{p}}$ är tidshorisonten

den optimala kontrollsekvensen som minimerar prestandaindexet ges av:

$u_{k}=-F_{k}x_{k}\,$

var:

$F_{k}=(R+B^{T}P_{k+1} B)^{-1}(B^{T}P_{k+1}A+N^{T})\,$

och $P_{k}$ hittas iterativt bakåt i tiden av den dynamiska Riccati-ekvationen:

$P_{k- 1}=A^{T}P_{k}A-(A^{T}P_{k}B+N)\vänster(R+B^{T}P_{k}B\höger)^{-1 }(B^{T}P_{k}A+N^{T})+Q$

från terminalvillkor $P_{H_{p}}=Q$ . Observera att $u_{H_{p}}$ inte är definierad, eftersom $x$ drivs till sitt slutliga tillstånd $x_{H_{p}}$ av $Ax_{H_{p}-1}+Bu_{H_{p}-1}$ .

Oändlig horisont, diskret tid

För ett linjärt tidsdiskret system som beskrivs av:

$x_{k+1}=Ax_{k}+Bu_{k}\,$

med ett prestationsindex definierat som:

$J=\sum \limits _{k=0}^{\infty }\ vänster(x_{k}^{T}Qx_{k}+u_{k}^{T}Ru_{k}+2x_{k}^{T}Nu_{k}\höger)$

den optimala kontrollsekvensen som minimerar prestandaindexet ges av:

$u_{k}=-Fx_{k}\,$

var:

$F=(R+B^{T}PB)^{-1}(B^{T}PA+N ^{T})\,$

och $P$ är den unika positiva definitiva lösningen till den diskreta tidsalgebraiska Riccati-ekvationen (DARE):

$P=A^{T}PA-(A ^{T}PB+N)\vänster(R+B^{T}PB\höger)^{-1}(B^{T}PA+N^{T})+Q$ .

Detta kan också skrivas som:

$P={\mathcal {A}}^{T}P{\mathcal {A} }-{\mathcal {A}}^{T}PB\left(R+B^{T}PB\right)^{-1}B^{T}P{\mathcal {A}}+{\mathcal {Q}}$

med:

${\mathcal {A}}=A-BR^{-1}N^{T}\qquad {\mathcal { Q}}=Q-NR^{-1}N^{T}$ .

Observera att ett sätt att lösa den algebraiska Riccati-ekvationen är att iterera den dynamiska Riccati-ekvationen för fallet med finita horisont tills den konvergerar.

Begränsningar

I praktiken kanske inte alla värden för $x_{k},u_{k}$ är tillåtna. En vanlig begränsning är den linjära:

$C\mathbf {x} +D\mathbf {u} \leq \mathbf {e} .$

Den ändliga horisontversionen av detta är ett konvext optimeringsproblem , och därför löses problemet ofta upprepade gånger med en vikande horisont. Detta är en form av modellförutsägande kontroll .

Relaterade kontroller

Kvadratisk-kvadratisk regulator

Om tillståndsekvationen är kvadratisk är problemet känt som kvadratisk-kvadratisk regulator (QQR). Al'Brekht-algoritmen kan användas för att reducera detta problem till ett som kan lösas effektivt med tensorbaserade linjära lösare.

Polynom-kvadratisk regulator

Om tillståndsekvationen är polynom är problemet känt som polynom-kvadratisk regulator (PQR). Återigen kan Al'Brekht-algoritmen användas för att reducera detta problem till ett stort linjärt, vilket kan lösas med en generalisering av Bartels-Stewart-algoritmen ; detta är möjligt förutsatt att graden av polynomet inte är för hög.

•   Kwakernaak, Huibert & Sivan, Raphael (1972). Linjära optimala styrsystem. Första upplagan . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-51110-2 .

•   Sontag, Eduardo (1998). Matematisk styrteori: Deterministiska finita dimensionella system. Andra upplagan . Springer. ISBN 0-387-98489-5 .

externa länkar

• MATLAB-funktion för design av Linear Quadratic Regulator
• Mathematica-funktion för design av Linear Quadratic Regulator