Ackermanns formel

Ej att förväxla med Ackermann-funktionen . För annan användning, se Ackermann (disambiguation) .

Inom kontrollteori är Ackermanns formel en designmetod för styrsystem för att lösa polallokeringsproblemet för system med invariant tid av Jürgen Ackermann. Ett av de primära problemen vid design av styrsystem är skapandet av styrenheter som kommer att ändra dynamiken i ett system genom att ändra egenvärdena för matrisen som representerar dynamiken i det slutna systemet. Detta är ekvivalent med att polerna för den tillhörande överföringsfunktionen ändras i det fall det inte finns någon annullering av poler och nollor.

Statlig återkopplingskontroll

Betrakta ett linjärt kontinuerligt-tid-invariant system med en stat-rymd-representation

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)$

där x är tillståndsvektorn, u är ingångsvektorn och A , B och C är matriser med kompatibla dimensioner som representerar systemets dynamik. En input-output beskrivning av detta system ges av överföringsfunktionen

$G(s)=C(sI-A)^{-1}B=C\ {\frac {\operatörsnamn {Adj} (sI-A)}{\det(sI-A)}}\ B .$

Eftersom nämnaren för den högra ekvationen ges av det karakteristiska polynomet för A , är polerna för G egenvärden för A (observera att det omvända inte nödvändigtvis är sant, eftersom det kan förekomma annulleringar mellan termer av täljaren och nämnaren). Om systemet är instabilt , eller har en långsam respons eller någon annan egenskap som inte anger designkriterierna, kan det vara fördelaktigt att göra ändringar i det. Matriserna A , B och C kan emellertid representera fysiska parametrar för ett system som inte kan ändras. Ett tillvägagångssätt för detta problem kan således vara att skapa en återkopplingsslinga med en förstärkning K som kommer att mata tillståndsvariabeln x till ingången u .

Om systemet är kontrollerbart finns det alltid en ingång $u(t)$ så att valfritt tillstånd $x_{0}$ kan överföras till vilket annat tillstånd $x(t)$ . Med det i åtanke kan en återkopplingsslinga läggas till systemet med styringången $u(t)=r(t)-Kx(t)$ , så att den nya dynamiken i systemet blir

$BK]x(t)+Br(t)}$

${\displaystyle {\dot {x }}(t)=Ax(t)+B[r(t)-Kx(t)]=[A$

$y(t)=Cx(t).$

I denna nya realisering kommer polerna att vara beroende av det karakteristiska polynomet $\Delta _{new}$ av $A-BK$ , dvs.

$\Delta _{\text{ny}}(s)=\det(sI-(A-BK)).$

Ackermanns formel

Att beräkna det karakteristiska polynomet och välja en lämplig återkopplingsmatris kan vara en utmanande uppgift, särskilt i större system. Ett sätt att göra beräkningar enklare är genom Ackermanns formel. För enkelhetens skull, överväg en enda ingångsvektor utan referensparameter $r$ , som t.ex.

$u(t)=-k^{T}x(t)$

${\dot {x}}(t)=Ax(t)-Bk^{T}x(t),$

där $k^{T}$ är en återkopplingsvektor med kompatibla dimensioner. Ackermanns formel säger att designprocessen kan förenklas genom att endast beräkna följande ekvation:

$k^{T}=\left[0\ 0\ \cdots \ 0\ 1\right]{\mathcal {C}}^{ -1}\Delta _{\text{ny}}(A),$

där $\Delta _{\text{new}}(A)$ är det önskade karakteristiska polynomet utvärderat vid matris $A$ och ${\mathcal {C} }$ är styrbarhetsmatrisen för systemet.

Bevis

Detta bevis är baserat på Encyclopedia of Life Support Systems inlägg om Pole Placement Control. Antag att systemet är kontrollerbart . Det karakteristiska polynomet för $A_{CL}:=(A-Bk^{T})$ ges av

$\Delta (A_{CL})=(A_{CL})^{n}+\ summa _{k=0}^{n-1}\alpha _{k}A_{CL}^{k}$

Att beräkna potenserna för $A_{CL}$ resulterar i

${\begin{aligned}(A_{CL})^{0}&=(A-Bk^{T})^{0}=I\\(A_{CL} )^{1}&=(A-Bk^{T})^{1}=A-Bk^{T}\\(A_{CL})^{2}&=(A-Bk^{T} )^{2}=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A+(Bk^{T})^{2}=A^{2}-ABk^{T}-(Bk ^{T})[A-Bk^{T}]=A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL}\\\vdots \\(A_{CL})^{ n}&=(A-Bk^{T})^{n}=A^{n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_ {CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1}\end{aligned}}$

Att ersätta de föregående ekvationerna till $\Delta (A_{CL})$ ger

$${\begin{aligned}\Delta (A_{CL})&=(A^{ n}-A^{n-1}Bk^{T}-A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}-\cdots -Bk^{T}A_{CL}^{n-1 })+\cdots +\alpha _{2}(A^{2}-ABk^{T}-Bk^{T}A_{CL})+\alpha _{1}(A-Bk^{T} )+\alpha _{0}I\\&=(A^{n}+\alpha _{n-1}A^{n-1}+\cdots +\alpha _{2}A^{2} +\alpha _{1}A+\alpha _{0}I)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})+\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{1 }(Bk^{T})\\&=\Delta (A)-(A^{n-1}Bk^{T}+A^{n-2}Bk^{T}A_{CL}+\ cdots +Bk^{T}A_{CL}^{n-1})-\cdots -\alpha _{2}(ABk^{T}+Bk^{T}A_{CL})-\alpha _{ 1}(Bk^{T})\end{aligned}}$$

Att skriva om ekvationen ovan som en matrisprodukt och utelämna termer som $k^{T}$ inte visas isolerade ger

$$\Delta (A_{CL})=\Delta (A)-\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\ vänster[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]$$

Från Cayley–Hamilton-satsen , $\Delta \left(A_{CL}\right)=0$ , alltså

$\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]\ vänster[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\Delta (A)$

Observera att ${\mathcal {C}}=\left[B\ \ AB\ \ \cdots \ \ A^{n-1}B\right]$ är styrbarhetsmatrisen för systemet. Eftersom systemet är kontrollerbart ${\mathcal {C}}$ inverterbar. Således,

$\left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right ]={\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

För att hitta $k^{T}$ kan båda sidor multipliceras med vektorn $\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array} }\right]$ ger

$\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right] \left[{\begin{array}{c}\star \\\vdots \\k^{T}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

Således,

$k^{T}=\left[{\begin{array}{ccccc}0&0&0&\cdots &1\end{array}}\right]{\ mathcal {C}}^{-1}\Delta (A)$

Exempel

Överväga

${\dot {x}}=\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right ]x+\left[{\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right]u$

Vi vet från det karakteristiska polynomet för $A$ att systemet är instabilt eftersom ${ \displaystyle det(sI-A)=(s-1)(s-2)-1=s^{2}-3s+1} ,$ matrisen $A$ kommer bara att ha positiva egenvärden. För att stabilisera systemet ska vi alltså sätta en återkopplingsförstärkning $K=\left[{\begin{array}{cc}k_{1}&k_{2}\end{array}}\right].$

Från Ackermanns formel kan vi hitta en matris $k$ som kommer att ändra systemet så att dess karakteristiska ekvation blir lika med ett önskat polynom. Anta att vi vill ha $\Delta _{\text{önskat}}(s)=s^{2}+11s+30$ .

Således, $\Delta _{\text{önskad}}(A)=A^{2}+11A+30I$ och beräkning av styrbarhetsmatrisen ger

${\mathcal {C}}=\left[{\begin{array}{cc}B&AB\end{array}}\right]=\left[ {\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}}\right]$ och ${\mathcal {C}}^{-1}=\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right].$

Vi har också att $A^{2}=\left[{\begin{array}{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right].$

Slutligen från Ackermanns formel

$k^{T}=\left[{\begin{array}{ cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[\left[{\begin{array }{cc}2&3\\3&5\end{array}}\right]+11\left[{\begin{array}{cc}1&1\\1&2\end{array}}\right]+30I\right]$

$k^{T}=\left[{\begin{array}{cc} 0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}1&-1\\0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}43&14 \\14&57\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}0&1\end{array}}\right]\left[{\begin{array}{cc}29&-43 \\14&57\end{array}}\right]$

$k^{T}=\left[{\begin{array}{cc}14&57\end{array}}\right ]$

Statlig observatörs design

Ackermanns formel kan också användas för utformning av statliga observatörer . Betrakta det linjära, diskreta tiden observerade systemet

${\displaystyle {\hat {x}}(n+1)= A{\hat {x}}(n)+Bu(n)+L[{\hat {y}}(n)-y(n)]} y$

$\ displaystil {\hat {y}}(n)=C{\hat {x}}(n)}$

med observatörsförstärkning L . Då noteras Ackermanns formel för utformningen av statliga observatörer som

$L^{\top }=\left[0\ 0\ \cdots \ 0\ 1\right]({\mathcal { O}}^{\top })^{-1}\Delta _{\text{new}}(A^{\top })$

med observerbarhetsmatris ${\mathcal {O}}$ . Här är det viktigt att notera att observerbarhetsmatrisen och systemmatrisen är transponerade : ${\mathcal {O}}^{\top }$ och $A^{\top }$ .

Ackermanns formel kan även tillämpas på kontinuerligt observerade system.

Se även

• Fullständig feedback från staten

externa länkar

• Kapitel om Ackermanns formel på Wikibook of Control Systems and Control Engineering