Freidlin–Wentzell-satsen

Inom matematiken är Freidlin –Wentzell-satsen (på grund av Mark Freidlin och Alexander D. Wentzell ) ett resultat i teorin om stora avvikelser för stokastiska processer . Grovt sett ger Freidlin–Wentzell-satsen en uppskattning av sannolikheten för att en (nedskalad) provväg för en Itō-diffusion kommer att avvika långt från medelvägen. Detta uttalande görs exakt med hjälp av hastighetsfunktioner . Freidlin–Wentzell-satsen generaliserar Schilders sats för Brownsk standardrörelse .

Påstående

Låt B vara en standard Brownsk rörelse på R ^d som börjar vid origo, 0 ∈ R ^d , och låt X ^ε vara en R ^d -värderad Itō-diffusion som löser en Itō stokastisk differentialekvation av formen

${\begin{cases}dX_{t}^{\varepsilon }=b(X_{t}^ {\varepsilon })\,dt+{\sqrt {\varepsilon }}\,dB_{t},\\X_{0}^{\varepsilon }=0,\end{cases}}$

₀₀₀ där driftvektorfältet b : Rd → Rd är ^likformigt Lipschitz ^kontinuerlig . Sedan ^, på Banach-utrymmet C = C ([0, T ]; Rd ) utrustad med den högsta normen ||·|| _∞ , familjen av processer ( X ^ε ) _{ε >0} uppfyller principen om stora avvikelser med bra hastighetsfunktion I : C → R ∪ {+∞} ges av

$I(\omega )={\frac {1}{2}}\int _{0}^{T}|{\dot {\omega }}_{t}-b(\omega _{t})|^{2}\,dt$

_{0 0} om ω ligger i Sobolev-utrymmet H ¹ ([0, T ]; Rd ), och I ( ω ) = +∞ annars ^. Med andra ord, för varje öppen uppsättning G ⊆ C och varje sluten uppsättning F ⊆ C ,

$\limsup _{\varepsilon \downarrow 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}X^{\varepsilon }\in F{\big ]}{\big )}\leq -\inf _{\omega \in F}I(\omega )$

och

$\liminf _{\varepsilon \downarrow 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {P} {\big [}X^{\varepsilon }\in G{\big ]}{\big ) }\geq -\inf _{\omega \in G}I(\omega ).$

•   Freidlin, Mark I .; Wentzell, Alexander D. (1998). Slumpmässiga störningar av dynamiska system . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences] 260 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. s. xii+430. ISBN 0-387-98362-7 . MR 1652127
•   Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Stora avvikelser tekniker och tillämpningar . Applications of Mathematics (New York) 38 (andra upplagan). New York: Springer-Verlag. s. xvi+396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036 (Se kapitel 5.6)