Fréchet ojämlikheter

I probabilistisk logik är Fréchet -ojämlikheterna , även känd som Boole–Fréchet-ojämlikheterna , regler implicita i George Booles arbete och uttryckligen härledda av Maurice Fréchet som styr kombinationen av sannolikheter om logiska propositioner eller händelser som logiskt kopplas samman i konjunktioner ( OCH operationer) eller disjunktioner ( OR -operationer) som i booleska uttryck eller fel- eller händelseträd som är vanliga i riskbedömningar , teknisk design och artificiell intelligens . Dessa ojämlikheter kan betraktas som regler om hur man binder beräkningar som involverar sannolikheter utan att anta oberoende eller, faktiskt, utan att göra några som helst beroendeantaganden . Fréchet-ojämlikheterna är nära besläktade med Boole-Bonferroni-Fréchet-ojämlikheterna och till Fréchet-gränserna .

Om $A i$ är logiska propositioner eller händelser , är Fréchet-ojämlikheterna det

Sannolikhet för en logisk konjunktion ( $\land$ ) $\max \left( 0,\,\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})-(n-1)\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigwedge _{ k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \min _{k}\{\mathbb {P} (A_{k})\},$
Sannolikhet för en logisk disjunktion ( $\lor$ ) $\max _{k}\{\mathbb {P} (A_{k})\}\leq \mathbb {P} \left(\bigvee _{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \min \left(1,\ ,\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})\right),$

där P( ) anger sannolikheten för en händelse eller proposition. I det fall där det bara finns två händelser, säg A och B , minskar ojämlikheterna till

Sannolikhet för en logisk konjunktion ( $\land$ ) $\max(0,\,\mathbb {P } (A)+\mathbb {P} (B)-1)\leq \mathbb {P} (A\land B)\leq \min(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B)),$
Sannolikhet för en logisk disjunktion ( $\lor$ ) $\max(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B))\leq \mathbb {P} (A\lor B)\leq \min(1,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)).$

Ojämlikheterna binder sannolikheterna för de två typerna av gemensamma händelser givet sannolikheterna för de enskilda händelserna. Till exempel, om A är "har lungcancer" och B är "har mesoteliom", så är A & B "har både lungcancer och mesoteliom", och A ∨ B är "har lungcancer eller mesoteliom eller båda sjukdomarna", och ojämlikheterna relaterar till riskerna med dessa händelser.

Observera att logiska konjunktioner betecknas på olika sätt i olika fält, inklusive AND, &, ∧ och grafiska AND-grindar . Logiska disjunktioner betecknas likaså på olika sätt, inklusive OR, |, ∨ och grafiska ELLER-grindar . Om händelser anses vara uppsättningar snarare än logiska propositioner , är de mängdteoretiska versionerna av Fréchet-ojämlikheterna

Sannolikhet för en korsning av händelser $\max(0,\,\mathbb {P } (A)+\mathbb {P} (B)-1)\leq \mathbb {P} (A\cap B)\leq \min(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B)),$
Sannolikhet för en förening av händelser $\max(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B))\leq \mathbb {P} (A\kopp B)\leq \min(1,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)).$

Numeriska exempel

Om sannolikheten för en händelse A är P(A) = a = 0,7 och sannolikheten för händelsen B är P(B) = b = 0,8, då är sannolikheten för konjunktionen , dvs den gemensamma händelsen A & B, är säkert i intervallet

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\land B)&\in [\max(0,\,a+b-1),\,\min(a,\,b)] \\&=[\max(0,\,0.7+0.8-1),\,\min(0.7,\,0.8)]\\&=[0.5,\,0.7]\end{aligned}}.

Likaså är sannolikheten för disjunktionen A ∨ B säkert i intervallet

{\begin{aligned}\mathbb {P} (A\eller B)&\in [\max(a,\,b),\,\min(1,\,a+b)]\\ &=[\max(0.7,\,0.8),\,\min(1,\,0.7+0.8)]\\&=[0.8,\,1]\end{aligned}}.

Dessa intervall kontrasteras med resultaten som erhållits från reglerna för sannolikhet under antagande av oberoende , där sannolikheten för konjunktionen är P(A & B) = a × b = 0,7 × 0,8 = 0,56, och sannolikheten för disjunktionen är P(A) ∨ B) = a + b − a × b = 0,94.

När de marginella sannolikheterna är mycket små (eller stora), är Fréchet-intervallen starkt asymmetriska om de analoga resultaten under oberoende. Anta till exempel att P(A) = 0,000002 = 2 × 10 ⁻⁶ och P(B) = 0,000003 = 3 × 10 ⁻⁶ . Då säger Fréchet-olikheterna att P(A & B) är i intervallet [0, 2 × 10 ⁻⁶ ], och P(A ∨ B) är i intervallet [ 3 × 10 ⁻⁶ , 5 × 10 ⁻⁶ ]. Om A och B är oberoende är emellertid sannolikheten för A & B 6 × 10 ⁻¹² , vilket är, jämförelsevis, mycket nära den nedre gränsen (noll) för Fréchet-intervallet. På liknande sätt är sannolikheten för A ∨ B 4,999 994 × 10 ⁻⁶ , vilket är mycket nära den övre gränsen för Fréchet-intervallet. Detta är vad som motiverar den approximation av sällsynta händelser som ofta används i tillförlitlighetsteorin .

Bevis

Bevisen är elementära. Kom ihåg att P( A ∨ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A & B ), vilket innebär P( A ) + P( B ) − P( A ∨ B ) = P( A & B ) ). Eftersom alla sannolikheter inte är större än 1 vet vi P( A ∨ B ) ≤ 1, vilket innebär att P( A ) + P( B ) − 1 ≤ P( A & B ). Eftersom alla sannolikheter också är positiva kan vi på samma sätt säga 0 ≤ P( A & B ), så max(0, P( A ) + P( B ) − 1) ≤ P( A & B ). Detta ger den nedre gränsen för konjunktionen.

För att få den övre gränsen, kom ihåg att P( A & B ) = P( A | B ) P( B ) = P( B | A ) P( A ). Eftersom P( A | B ) ≤ 1 och P( B | A ) ≤ 1, vet vi P( A & B ) ≤ P( A ) och P( A & B ) ≤ P( B ). Därför är P( A & B ) ≤ min(P( A ), P( B )), vilket är den övre gränsen.

Den bästa möjliga karaktären hos dessa gränser följer av att observera att de realiseras genom ett visst beroende mellan händelserna A och B. Jämförbara gränser för disjunktionen härleds på liknande sätt.

Tillägg

När ingångssannolikheterna själva är intervallintervall fungerar Fréchets formler fortfarande som en sannolikhetsgränsanalys . Hailperin övervägde problemet med att utvärdera probabilistiska booleska uttryck som involverar många händelser i komplexa konjunktioner och disjunktioner. Vissa har föreslagit att man använder ojämlikheterna i olika tillämpningar av artificiell intelligens och har utvidgat reglerna för att ta hänsyn till olika antaganden om beroendet mellan händelserna. Ojämlikheterna kan också generaliseras till andra logiska operationer, inklusive till och med modus ponens . När ingångssannolikheterna kännetecknas av sannolikhetsfördelningar kan analoga operationer som generaliserar logiska och aritmetiska faltningar utan antaganden om beroendet mellan indata definieras baserat på den relaterade begreppet Fréchet-gränser.

Quantum Fréchet gränser

Liknande gränser gäller även i kvantmekaniken i fallet med separerbara kvantsystem och att intrasslade tillstånd bryter mot dessa gränser. Tänk på ett sammansatt kvantsystem. I synnerhet fokuserar vi på ett sammansatt kvantsystem AB tillverkat av två finita delsystem betecknade som A och B . Antag att vi känner till densitetsmatrisen för delsystemet A , dvs. $\rho ^{A}$ som är en spår-ett positiv definitiv matris i $\mathbb {C} _ {h}^{n\times n}$ (utrymmet för hermitiska matriser med dimensionen $n\times n$ ), och densitetsmatrisen för delsystem B betecknad som $\rho ^{B}.$ Vi kan tänka oss $\rho ^{A}$ och $\rho ^{B}$ som marginalerna för delsystemen A och B . Från kunskapen om dessa marginaler vill vi sluta oss till något om leden $\rho ^{AB}$ i $\mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}.$ Vi begränsar vår uppmärksamhet till led $\rho ^{AB}$ som är separerbara . En densitetsmatris på ett sammansatt system är separerbar om det finns $p_{k}\geq 0,\{\rho _{1}^{k}\}$ och $\{\rho _{2}^{k}\}$ som är blandade tillstånd för respektive delsystem så att

\rho ^{AB}=\summa _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _ {2}^{k}

var

\sum _{k}p_{k}=1.

Annars kallas ${\displaystyle \rho ^{AB}} ett intrasslat tillstånd.$

För separerbara densitetsmatriser $\rho ^{AB}$ i $\mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}$ följande Fréchet-liknande gränser håll:

{\begin{cases }\rho ^{AB}\leq \rho ^{A}\otimes I_{m}\\\rho ^{AB}\leq I_{n}\otimes \rho ^{B}\\[6pt]\rho ^{AB}\geq \rho ^{A}\otimes I_{m}+I_{n}\otimes \rho ^{B}-I_{nm}\\\rho ^{AB}\gneq 0\end{ fall}}

Olikheterna är matrisolikheter , $\otimes$ betecknar tensorprodukten och $I_{x}$ identitetsmatrisen för dimensionen x $\displaystyle x}$ . Det är uppenbart att strukturellt sett är ovanstående ojämlikheter analoger till de klassiska Fréchet-gränserna för den logiska konjunktionen. Det är också värt att notera att när matriserna $\rho ^{A},\rho ^{B}$ och $\rho ^{AB}$ är begränsade till att vara diagonalt får vi de klassiska Fréchet-gränserna.

Den övre gränsen är känd inom Quantum Mechanics som reduktionskriterium för densitetsmatriser; det bevisades först av och självständigt formulerat av. Den nedre gränsen har erhållits genom att den ger en Bayesiansk tolkning av dessa gränser.

Numeriska exempel

Vi har observerat när matriserna $\rho ^{A},\rho ^{B}$ och $\rho ^{AB}$ alla är diagonala, får vi den klassiska Fréchet gränser. För att visa det, överväg igen det föregående numeriska exemplet:

{\displaystyle {\begin{aligned}\rho

då har vi:

{\begin{aligned}\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a {\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\leqslant \rho ^{A}\otimes I_ {2}={\text{diag}}(0.7,0.7,0.3,0.3)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar { b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\leqslant I_{2}\otimes \rho ^{B}= {\text{diag}}(0.8,0.2,0.8,0.2)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}(p_{ab},p_{a{\bar {b}}} ,p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\geqslant \rho ^{A}\ibland I_{2}+I_{2} \otimes \rho ^{B}-I_{4}={\text{diag}}(0.5,-0.1,0.1,-0.5)\\\rho ^{AB}&={\text{diag}}( p_{ab},p_{a{\bar {b}}},p_{{\bar {a}}b},p_{{\bar {a}}{\bar {b}}})\geqslant 0 \end{aligned}}

som betyder:

{\begin{aligned}0.5&_\leq}slant.7 \\0&\leqslant p_{a{\bar {b}}}\leqslant 0.2\\0.1&\leqslant p_{{\bar {a}}b}\leqslant 0.3\\0&\leqslant p_{{\bar { a}}{\bar {b}}}\leqslant 0.2\end{aligned}}

Det är värt att påpeka att intrasslade stater bryter mot ovanstående Fréchet-gränser. Tänk till exempel på den intrasslade densitetsmatrisen (som inte är separerbar):

\rho ^{AB}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&1\ \\end{bmatrix}},

som har marginell

\rho ^{A}=\rho ^{B}={\text{diag}}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right ).

Entangled states är inte separerbara och det kan lätt verifieras att

{\begin{cases}\rho ^{A}\otimes I_{m}-\rho ^{AB}\ ngeqslant 0\\I_{n}\otimes \rho ^{B}-\rho ^{AB}\ngeqslant 0\end{cases}}

eftersom de resulterande matriserna har ett negativt egenvärde.

Ett annat exempel på brott mot probabilistiska gränser tillhandahålls av den berömda Bells ojämlikhet : intrasslade tillstånd uppvisar en form av stokastiskt beroende starkare än det starkaste klassiska beroendet: och i själva verket bryter de mot Fréchet-liknande gränser.

Se även