Fortsättningskarta

I differentiell topologi , med tanke på en familj av Morse-Smale-funktioner på ett jämnt grenrör X parametriserat av ett slutet intervall I , kan man konstruera ett Morse-Smale- vektorfält på X × I vars kritiska punkter endast förekommer på gränsen . Morsedifferentialen definierar en kedjekarta från morsekomplexen vid familjens gränser, fortsättningskartan . Detta kan visas att sjunka till en isomorfism på Morse-homologi , vilket bevisar dess invarians av Morse-homologi av en jämn gren.

Fortsättningskartor definierades av Andreas Floer för att bevisa invariansen av Floer-homologi i oändliga dimensionella analoger av den ovan beskrivna situationen; i fallet med finitdimensionell Morse-teori kan invarians bevisas genom att bevisa att Morse-homologi är isomorf till singular homologi , som är känd för att vara invariant. Floer-homologi är dock inte alltid isomorf till en bekant invariant, så fortsättningskartor ger ett a priori-bevis på invarians.

I ändlig-dimensionell Morse-teorin ger olika val som görs för att konstruera vektorfältet på X × I distinkta men kedjekedjiga homotopiska kartor och går därmed ner till samma isomorfism på homologi. Men i vissa oändliga dimensionella fall håller detta inte, och dessa tekniker kan användas för att producera invarianter av enparameterfamiljer av objekt (som kontaktstrukturer eller legendriska knutar ).