Formler för att generera Pythagoras trippel
Förutom Euklids formel har många andra formler för att generera Pythagoras trippel utvecklats.
Euklids, Pythagoras och Platons formler
Euklids, Pythagoras och Platons formler för att beräkna trippel har beskrivits här:
Metoderna nedan förekommer i olika källor, ofta utan att tillskriva deras ursprung.
Fibonaccis metod
Leonardo av Pisa ( ca 1170 – ca 1250 ) beskrev denna metod för att generera primitiva trippel med hjälp av sekvensen av på varandra följande udda heltal och det faktum att summan av de första termerna i denna sekvens är . Om är den -:e medlemmen av denna sekvens så .
Välj valfritt udda kvadratnummer från denna sekvens ( ) och låt denna kvadrat vara den -te termen i sekvensen. Låt också vara summan av de föregående termerna, och låt vara summan av alla termer. Sedan har vi fastställt att och vi har genererat den primitiva trippeln [ a, b, c ]. Denna metod producerar ett oändligt antal primitiva trippel, men inte alla.
EXEMPEL: Välj . Detta udda kvadrattal är den femte termen i sekvensen, eftersom . Summan av de föregående 4 termerna är och summan av alla termer är ger oss och den primitiva trippeln [ a, b, c ] = [3, 4, 5].
Sekvenser av blandade nummer
Michael Stifel publicerade följande metod 1544. Betrakta sekvensen av blandade tal med . För att beräkna en pytagoreisk trippel, ta vilken term som helst i denna sekvens och konvertera den till ett oegentligt bråk (för blandat tal är motsvarande oegentliga bråktal ). Då är dess täljare och nämnare sidorna, b och a , i en rätvinklig triangel, och hypotenusan är b + 1. Till exempel:
Jacques Ozanam återpublicerade Stifels sekvens 1694 och lade till den liknande sekvensen med . Som tidigare, för att producera en trippel från denna sekvens, ta vilken term som helst och omvandla den till en oegentlig bråkdel. Då är dess täljare och nämnare sidorna, b och a , i en rätvinklig triangel, och hypotenusan är b + 2. Till exempel:
Med a de kortare och b de längre benen i en triangel och c dess hypotenusa, definieras Pythagoras-familjen av trillingar av c − b = 1, Platon-familjen av c − b = 2, och familjen Fermat av | a − b | = 1. Stifel-sekvensen producerar alla primitiva tripletter av Pythagoras-familjen, och Ozanam-sekvensen producerar alla primitiva trillingar av Platon-familjen. Trillingarna i familjen Fermat måste hittas på annat sätt.
Dicksons metod
Leonard Eugene Dickson (1920) tillskriver sig själv följande metod för att generera pythagoras trippel. För att hitta heltalslösningar till x , hitta positiva heltal r , s och t så att är en perfekt kvadrat.
Sedan:
Av detta ser vi att är vilket jämnt heltal som helst och att s och t är faktorer för . Alla Pythagoras trippel kan hittas med denna metod. När s och t är coprime kommer trippeln att vara primitiv. Ett enkelt bevis på Dicksons metod har presenterats av Josef Rukavicka, J. (2013).
Exempel: Välj r = 6. Sedan . De tre faktorparen av 18 är: (1, 18), (2, 9) och (3, 6). Alla tre faktorpar kommer att producera trippel med ovanstående ekvationer.
- s = 1, t = 18 ger trippeln [7, 24, 25] eftersom x = 6 + 1 = 7, y = 6 + 18 = 24, z = 6 + 1 + 18 = 25.
- s = 2, t = 9 ger trippeln [8, 15, 17] eftersom x = 6 + 2 = 8, y = 6 + 9 = 15, z = 6 + 2 + 9 = 17.
- s = 3, t = 6 ger trippeln [9 , 12, 15] eftersom x = 6 + 3 = 9, y = 6 + 6 = 12, z = 6 + 3 + 6 = 15. (Eftersom s och t inte är coprime är denna trippel inte primitiv.)
Generaliserad Fibonacci-sekvens
Metod I
För Fibonacci-tal som börjar med F 1 = 0 och F 2 = 1 och där varje efterföljande Fibonacci-tal är summan av de två föregående, kan man generera en sekvens av pythagoras trippel med början från ( a 3 , b 3 , c 3 ) = ( 4, 3, 5) via
för n ≥ 4.
Metod II
En Pythagoras trippel kan genereras med hjälp av två positiva heltal genom följande procedurer med generaliserade Fibonacci-sekvenser .
För initiala positiva heltal h n och h n +1 , om h n + h n +1 = h n +2 och h n +1 + h n +2 = h n +3 , då
är en pythagoras trippel.
Metod III
Följande är en matrisbaserad metod för att generera primitiva trippel med generaliserade Fibonacci-sekvenser. Börja med en 2 × 2 array och infoga två coprime positiva heltal (q,q') i den översta raden. Placera det jämna heltal (om något) i den vänstra kolumnen.
Använd nu följande "Fibonacci-regel" för att få posterna i den nedre raden:
En sådan array kan kallas en "Fibonacci Box". Observera att q', q, p, p' är en generaliserad Fibonacci-sekvens. Med kolumn-, rad- och diagonalprodukter får vi sidorna av triangeln [a, b, c], dess area A och dess omkrets P , såväl som radierna r i för dess incirkel och tre cirklar enligt följande:
Halvvinkeltangenserna vid de spetsiga vinklarna är q/p och q'/p' .
EXEMPEL:
Använder coprime heltal 9 och 2.
Kolumn-, rad- och diagonalprodukterna är: (kolumner: 22 och 117), (rader: 18 och 143), (diagonaler: 26 och 99), så
Halvvinkeltangenserna vid de spetsiga vinklarna är 2/11 och 9/13. Observera att om de valda heltalen q , q' inte är coprime , leder samma procedur till en icke-primitiv trippel.
Pythagoras trippel och Descartes cirkelekvation
Denna metod för att generera primitiva Pythagoras trippel ger också heltalslösningar till Descartes cirkelekvation ,
0 där heltalskrökningar k i erhålls genom att multiplicera den reciproka av varje radie med arean A . Resultatet är k 1 = pp', k 2 = qp', k 3 = q'p, k 4 = qq'. Här anses den största cirkeln ha negativ krökning i förhållande till de andra tre. Den största cirkeln (krökning k 4 ) kan också ersättas av en mindre cirkel med positiv krökning ( k = 4 pp' − qq' ) .
EXEMPEL:
0 Genom att använda arean och fyra radier som erhållits ovan för primitiv trippel [44, 117, 125] får vi följande heltalslösningar till Descartes ekvation: k 1 = 143, k 2 = 99, k 3 = 26, k 4 = (−18) och k = 554.
Ett ternärt träd: genererar alla primitiva pytagoreiska trippel
Varje primitiv Pythagoras trippel motsvarar unikt en Fibonacci-låda. Omvänt motsvarar varje Fibonacci Box en unik och primitiv pythagoras trippel. I det här avsnittet ska vi använda Fibonacci-boxen i stället för den primitiva trippel som den representerar. Ett oändligt ternärt träd som innehåller alla primitiva Pythagoras trippel/Fibonacci-lådor kan konstrueras genom följande procedur.
Betrakta en Fibonacci-box som innehåller två udda, coprime heltal x och y i den högra kolumnen.
Det kan ses att dessa heltal också kan placeras enligt följande:
vilket resulterar i ytterligare tre giltiga Fibonacci-rutor som innehåller x och y . Vi kanske tänker på den första Boxen som "föräldern" till de kommande tre. Till exempel, om x = 1 och y = 3 har vi:
Dessutom är varje "barn" själv förälder till ytterligare tre barn som kan erhållas med samma procedur. Att fortsätta denna process vid varje nod leder till ett oändligt ternärt träd som innehåller alla möjliga Fibonacci-boxar, eller motsvarande, till ett ternärt träd som innehåller alla möjliga primitiva trippel. (Trädet som visas här skiljer sig från det klassiska trädet som Berggren beskrev 1934, och har många olika talteoretiska egenskaper.) Jämför: "Klassiskt träd". Se även Tree of primitive Pythagoras triples .
Generera trippel med andragradsekvationer
Det finns flera metoder för att definiera andragradsekvationer för att beräkna varje ben i en Pythagoras trippel. En enkel metod är att modifiera Euklids standardekvation genom att lägga till en variabel x till varje m- och n -par. M , n -paret behandlas som en konstant medan värdet av x varieras för att producera en "familj" av trippel baserat på den valda trippeln. En godtycklig koefficient kan placeras framför " x "-värdet på antingen m eller n , vilket gör att den resulterande ekvationen systematiskt "hoppar" genom trippeln. Betrakta till exempel trippeln [20, 21, 29] som kan beräknas från Euklids ekvationer med värdet m = 5 och n = 2. Sätt också godtyckligt koefficienten 4 framför " x " i " m " term.
Låt och låt
Därför byter man ut värdena på m och n :
Observera att den ursprungliga trippeln omfattar den konstanta termen i var och en av de respektive andragradsekvationerna. Nedan är ett exempel på utdata från dessa ekvationer. Observera att effekten av dessa ekvationer är att få " m "-värdet i Euklids ekvationer att öka i steg om 4, medan " n "-värdet ökar med 1.
x | sida a | sida b | sida c | m | n |
---|---|---|---|---|---|
0 | 20 | 21 | 29 | 5 | 2 |
1 | 54 | 72 | 90 | 9 | 3 |
2 | 104 | 153 | 185 | 13 | 4 |
3 | 170 | 264 | 314 | 17 | 5 |
4 | 252 | 405 | 477 | 21 | 6 |
Generera alla primitiva Pythagoras trippel med halvvinkeltangenser
En primitiv Pythagoras trippel kan rekonstrueras från en halvvinkeltangens. Välj r för att vara ett positivt rationellt tal i (0, 1) för att vara tan( A / 2) för den inre vinkeln A som är motsatt sidan av längden a . Med tangenthalvvinkelformler följer det omedelbart att α = sin( A ) = 2 r / (1 + r 2 ) och β = cos( A ) = (1 − r 2 ) / (1 + r 2 ) båda är rationell och att α 2 + β 2 = 1 . Multiplicera upp med det minsta heltal som rensar nämnarna för α och β återställer den ursprungliga primitiva pythagoras trippel. Observera att om a < b önskas så ska r väljas att vara mindre än √ 2 − 1 .
Den inre vinkeln B som är motsatt sidan av längden b kommer att vara den komplementära vinkeln för A . Vi kan beräkna s = tan( B / 2) = tan( π /4 − A /2) = (1 - r ) / (1 + r ) från formeln för tangensen för vinkelskillnaden. Användning av s istället för r i formlerna ovan kommer att ge samma primitiva pythagoras trippel men med a och b ombytta.
Observera att r och s kan rekonstrueras från a , b och c med r = a /( b + c ) och s = b /( a + c ) .
Pythagoras tredubblas med hjälp av matriser och linjära transformationer
Låt [ a , b , c ] vara en primitiv trippel med en udda. [ a 3 , b 3 , c 3 Sedan kan 3 nya trippel [ a 1 , b 1 , c 1 ] , [ a 2 , b 2 , c 2 ] , ] produceras från [ a , b , c ] med hjälp av matrismultiplikation och Berggrens tre matriser A , B , C . Trippel [ a , b , c ] kallas föräldern till de tre nya trippelna ( barnen ). Varje barn är själv förälder till ytterligare 3 barn, och så vidare. Om man börjar med primitiv trippel [3, 4, 5] kommer alla primitiva trippel så småningom att produceras genom tillämpning av dessa matriser. Resultatet kan representeras grafiskt som ett oändligt ternärt träd med [ a , b , c ] vid rotnoden. Ett ekvivalent resultat kan erhållas med Berggrens tre linjära transformationer som visas nedan.
Berggrens tre linjära transformationer är:
Alternativt kan man också använda 3 olika matriser hittade av Price. Dessa matriser A', B', C' och deras motsvarande linjära transformationer visas nedan.
Prices tre linjära transformationer är
De 3 barnen som produceras av var och en av de två uppsättningarna av matriser är inte desamma, men varje uppsättning separat producerar alla primitiva trippel.
Om vi till exempel använder [5, 12, 13] som förälder får vi två uppsättningar med tre barn:
Area proportionell mot kvadratsummor
Alla primitiva trippel med och med en udda kan genereras enligt följande:
Pythagoras trippel | Semi-perimeter | Område | Incirkel radie | Cirkel radie |
---|---|---|---|---|
1 | ||||
2 | ||||
3 | ||||
Höjd-överskott uppräkningssats
Wade och Wade introducerade först kategoriseringen av Pythagoras trippel efter deras höjd, definierad som c - b, som länkade 3,4,5 till 5,12,13 och 7,24,25 och så vidare.
McCullough och Wade utökade detta tillvägagångssätt, som ger alla pythagoras trippel när Skriv ett positivt heltal h som pq 2 med p kvadratfri och q positiv. Sätt d = 2 pq om p är udda, eller d = pq om p är jämnt. För alla par ( h, k ) av positiva heltal ges trippeln av
De primitiva trippelna uppstår när gcd( k, h ) = 1 och antingen h=q 2 med q udda eller h =2 q 2 .