Formel för avfasningshastighet SP

SP- formeln för avfasningshastigheten Γ $\displaystyle \Gamma _{\varphi }}$ för en partikel som rör sig i en fluktuerande miljö förenar olika resultat som har erhållits, särskilt inom den kondenserade materiens fysik , med avseende på elektronernas rörelse i en metall. Det allmänna fallet kräver att man inte bara tar hänsyn till de tidsmässiga korrelationerna utan också de rumsliga korrelationerna mellan miljöfluktuationerna. Dessa kan karakteriseras av den spektrala formfaktorn ${\tilde {S}}(q,\omega )$ , medan partikelns rörelse karakteriseras av dess kraftspektrum ${\tilde {P}}(q,\omega )$ . Följaktligen tar uttrycket för avfasningshastigheten vid ändlig temperatur följande form som involverar S- och P -funktioner:

$\Gamma _{\varphi }\ =\ \int d{q}\int {\ frac {d\omega }{2\pi }}\,{\tilde {S}}({q},\omega )\,{\tilde {P}}(-{q},-\omega )$

På grund av inneboende begränsningar av den semiklassiska (stationära fasen) approximationen är den fysiskt korrekta proceduren att använda de icke-symmetriserade kvantversionerna av ${\tilde {S}}(q,\omega )$ och ${\tilde {P}}(q,\omega )$ . Argumentet är baserat på analogin av uttrycket ovan med Fermi-gyllene-regelns beräkning av övergångarna som induceras av system-miljö-interaktionen.

Härledning

Det är mest belysande att förstå SP-formeln i samband med DLD-modellen , som beskriver rörelse vid dynamisk störning. För att härleda formeln för avfasningshastigheten från de första principerna kan en renhetsbaserad definition av avfasningsfaktorn antas. Renheten $P(t)=e^{-F(t)}$ beskriver hur ett kvanttillstånd blir blandat på grund av systemets intrassling med miljön. Med hjälp av störningsteori återhämtar man sig vid ändliga temperaturer vid den långa tidsgränsen ${\displaystyle F(t)=\Gamma _{\varphi }t} ,$ där avklingningskonstanten ges av avfasningshastigheten formel med icke symmetriska spektrala funktioner som förväntat. Det finns en något kontroversiell möjlighet att få effektlagsavklingning av $P(t)$ vid gränsen för nolltemperatur. Det korrekta sättet att införliva Pauli-blockering i beräkningen av många kroppars avfasning, inom ramen för SP-formelmetoden, har också klargjorts.

Exempel

För standard 1D Caldeira-Leggett Ohmic miljö, med temperatur $T$ och friktion $\eta$ , är den spektrala formfaktorn

${\tilde {S}}(q,\omega )\ =\ { \frac {(2\pi )\delta (q)}{q^{2}}}\,\left[{\frac {2\eta \omega }{1-e^{-\omega /T}} }\höger]$

Detta uttryck återspeglar att i den klassiska gränsen upplever elektronen "vitt temporalt brus", vilket betyder kraft som inte är korrelerad i tid, utan enhetlig är rymd (höga q {\ $q}$ komponenter saknas). I motsats till det, för diffusiv rörelse av en elektron i en 3D-metallisk miljö, som skapas av resten av elektronerna, är den spektrala formfaktorn

${\tilde {S}}(q,\omega )\ =\ {\frac {1}{\nu Dq^{2}}}\left[{\frac {2\omega }{1-e ^{-\omega /T}}}\right].$

Detta uttryck återspeglar att i den klassiska gränsen upplever elektronen "vitt spatio-temporalt brus", vilket betyder kraft som varken är korrelerad i tid eller rum. Effektspektrumet för en enda diffusiv elektron är

${\tilde {P}}(q,\omega )\ \ =\ \ {\frac {2Dq^{2 }}{\omega ^{2}+(Dq^{2})^{2}}}$

Men i många kroppssammanhang får detta uttryck en "Fermi-blockerande faktor":

${\tilde {P}}(q,\omega )\ \ =\ \ {\frac {d}{d\omega }}\vänster[{\frac {\omega }{1-e^{-\omega /T}}}\right]\ gånger {\frac {2Dq^{2}}{\omega ^{2}+(Dq^{2})^{2}}}$

Genom att beräkna SP-integralen får vi det välkända resultatet $\Gamma _{\varphi }\propto T^{3/2}$ .