Fixpunktssatser i oändliga dimensionella rum
Inom matematiken generaliserar ett antal fixpunktssatser i oändliga dimensionella utrymmen Brouwers fixpunktsats . De har tillämpningar, till exempel, till bevis på existens-satser för partiella differentialekvationer .
Det första resultatet i fältet var Schauder fixpunktssats , bevisad 1930 av Juliusz Schauder (ett tidigare resultat i en annan riktning, Banachs fixpunktsats för sammandragningsmappningar i kompletta metriska utrymmen bevisades 1922). En hel del ytterligare resultat följde. Ett sätt på vilket fixpunktssatser av detta slag har haft ett större inflytande på matematiken som helhet har varit att ett tillvägagångssätt är att försöka överföra metoder för algebraisk topologi, först bevisade för finita enkla komplex , till utrymmen med oändlig dimension. Till exempel kom forskningen av Jean Leray som grundade kärveteorin ur ansträngningar att utöka Schauders arbete.
Schauder fixpunktssats : Låt C vara en icke-tom sluten konvex delmängd av ett Banach-rum V . Om f : C → C är kontinuerlig med en kompakt bild, så har f en fast punkt.
Tikhonov (Tychonoff) fixpunktssats: Låt V vara ett lokalt konvext topologiskt vektorrum . För varje icke-tom kompakt konvex uppsättning X i V , har varje kontinuerlig funktion f : X → X en fixpunkt.
Browder fixpunktssats: Låt K vara en icke-tom sluten avgränsad konvex uppsättning i ett likformigt konvext Banachrum . Då har varje icke-expansiv funktion f : K → K en fixpunkt. (En funktion kallas icke-expansiv om för varje och .)
Andra resultat inkluderar Markov–Kakutanis fixpunktssats (1936–1938) och Ryll-Nardzewski fixpunktssats (1967) för kontinuerliga affina självkartläggningar av kompakta konvexa mängder, såväl som Earle–Hamilton fixpunktssats. (1968) för holomorfa självkartläggningar av öppna domäner.
Kakutani fixpunktssats : Varje korrespondens som kartlägger en kompakt konvex delmängd av ett lokalt konvext utrymme i sig själv med en stängd graf och konvexa icke-tomma bilder har en fixpunkt.
Se även
- Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction , D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7 .
- Andrzej Granas och James Dugundji , Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5 .
- William A. Kirk och Brailey Sims , Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2 .