Feynman schackbräde

Feynman schackbräde med två vägar som bidrar till summan för propagatorn från ( $x/\epsilon c$ , $t/\epsilon$ ) = (0, 0) till (3, 7)

Feynman schackbräde , eller relativistisk schackbrädemodell , var Richard Feynmans summa -över-vägar- formulering av kärnan för en free spin-½- partikel som rörde sig i en rumslig dimension. Det ger en representation av lösningar av Dirac-ekvationen i (1+1)-dimensionell rumtid som diskreta summor.

Modellen kan visualiseras genom att betrakta relativistiska slumpmässiga vandringar på ett tvådimensionellt rumtidsschackbräde. Vid varje diskret tidssteg ${\displaystyle \epsilon } rör sig$ partikeln med massan $m$ ett avstånd $\epsilon c$ åt vänster eller höger ( $c$ är ljusets hastighet ). För en sådan diskret rörelse Feynman-vägintegralen till en summa över de möjliga banorna. Feynman visade att om varje "sväng" (ändring av rörelse från vänster till höger eller omvänt) av rymd-tid-banan viktas med − $\displaystyle -i\epsilon mc^{2}/\ hbar }$ (med $\hbar$ som betecknar den reducerade Plancks konstant ), i gränsen för oändligt små rutbrädekvadrater ger summan av alla viktade banor en propagator som uppfyller den endimensionella Dirac-ekvationen . Som ett resultat erhålls helicitet (den endimensionella motsvarigheten till spin ) från en enkel regel av cellulär automattyp .

Schackbrädemodellen är viktig eftersom den kopplar samman aspekter av spinn och kiralitet med fortplantning i rumtid och är den enda summa-över-väg-formuleringen där kvantfasen är diskret på nivån för banorna, och tar endast värden som motsvarar enhets 4:e rötter . .

Historia

Feynman uppfann modellen på 1940-talet samtidigt som han utvecklade sin rymdtidsmetod till kvantmekanik. Han publicerade inte resultatet förrän det dök upp i en text om vägintegraler medförfattare av Albert Hibbs i mitten av 1960-talet. Modellen inkluderades inte med den ursprungliga vägintegralartikeln eftersom en lämplig generalisering till en fyrdimensionell rumtid inte hade hittats.

En av de första kopplingarna mellan de amplituder som föreskrivs av Feynman för Dirac-partikeln i 1+1-dimensioner, och standardtolkningen av amplituder i termer av kärnan, eller propagatorn, fastställdes av Jayant Narlikar i en detaljerad analys . Namnet "Feynman schackbrädemodell" myntades av Gersch när han visade dess förhållande till den endimensionella Ising-modellen . Gaveau et al. upptäckte ett samband mellan modellen och en stokastisk modell av telegrafekvationerna på grund av Mark Kac genom analytisk fortsättning . Jacobson och Schulman undersökte övergången från den relativistiska till den icke-relativistiska vägintegralen. Därefter visade Ord att schackbrädemodellen var inbäddad i korrelationer i Kacs ursprungliga stokastiska modell och hade därför ett rent klassiskt sammanhang, fritt från formell analytisk fortsättning. Samma år producerade Kauffman och Noyes en helt diskret version relaterad till bitsträngsfysik, som har utvecklats till ett allmänt synsätt på diskret fysik.

Tillägg

Även om Feynman inte levde för att publicera tillägg till schackbrädesmodellen, framgår det av hans arkiverade anteckningar att han var intresserad av att etablera en koppling mellan enhetens 4:e rötter (används som statistiska vikter i schackbrädesbanor) och hans upptäckt, med JA Wheeler , att antipartiklar är likvärdiga med partiklar som rör sig bakåt i tiden. Hans anteckningar innehåller flera skisser av schackbrädesbanor med extra rymdtidsslingor. Den första förlängningen av modellen för att uttryckligen innehålla sådana slingor var "spiralmodellen", där schackbrädesbanor fick gå i spiral i rymdtiden. Till skillnad från schackbrädesfallet kausalitet implementeras explicit för att undvika divergenser, men med denna begränsning uppstod Dirac-ekvationen som en kontinuumgräns . Därefter har rollerna för zitterbewegung , antipartiklar och Dirac havet i schackbrädemodellen klarlagts, och implikationerna för Schrödinger-ekvationen övervägts genom den icke-relativistiska gränsen.

Ytterligare förlängningar av den ursprungliga 2-dimensionella rumtidsmodellen inkluderar funktioner som förbättrade summeringsregler och generaliserade gitter. Det har inte funnits någon konsensus om en optimal utvidgning av schackbrädesmodellen till en helt fyrdimensionell rumtid. Två distinkta klasser av förlängningar finns, de som arbetar med ett fast underliggande gitter och de som bäddar in det tvådimensionella fallet i högre dimension. Fördelen med det förra är att summa-över-banorna är närmare det icke-relativistiska fallet, men den enkla bilden av en enda riktningsoberoende ljushastighet går förlorad. I de senare utbyggnaderna bibehålls fasthastighetsegenskapen på bekostnad av variabla riktningar vid varje steg.