Fermats räta triangelsats

Två räta trianglar med de två benen på den översta lika med benet och hypotenusan på den nedre. För dessa längder bildar $a^{2}$ , $b^{2}$ och $c^{2}$ en aritmetisk progression separerad med ett gap på $d^{2}$ . Det är inte möjligt för alla fyra längderna $a$ , $b$ , $c$ och $d$ att vara heltal.

Fermats rätt triangelsats är ett icke-existensbevis inom talteorin , publicerat 1670 bland verk av Pierre de Fermat , strax efter hans död. Det är det enda fullständiga beviset från Fermat. Den har flera likvärdiga formuleringar, varav en angavs (men inte bevisades) 1225 av Fibonacci . I sina geometriska former står det:

• En rätvinklig triangel i det euklidiska planet där alla tre sidlängderna är rationella tal kan inte ha en area som är kvadraten på ett rationellt tal. Arean av en rationell rät triangel kallas ett kongruent tal , så inget kongruent tal kan vara kvadratiskt.
• En rätvinklig triangel och en kvadrat med lika arealer kan inte ha alla sidor i proportion till varandra.
• Det finns inte två heltalssidiga räta trianglar där de två benen i en triangel är benet och hypotenusan i den andra triangeln.

Mer abstrakt, som ett resultat av diofantiska ekvationer (heltals- eller rationella tallösningar till polynomekvationer), motsvarar det påståendena att:

• Om tre kvadrattal bildar en aritmetisk progression , då kan gapet mellan på varandra följande tal i progressionen (kallat ett kongruum ) inte i sig vara kvadratiskt.
• De enda rationella punkterna på den elliptiska kurvan $y^{2}=x(x-1)(x+1)$ är de tre triviala punkterna med $x\in \{-1,0,1\}$ och $y=0$ .
• Kvartsekvationen $x^{4}-y^{4}=z^{2}$ har ingen heltalslösning som inte är noll .

En omedelbar konsekvens av den sista av dessa formuleringar är att Fermats sista sats är sann i det speciella fallet att dess exponent är 4.

Formulering

Kvadrater i aritmetisk progression

År 1225 utmanade kejsar Fredrik II matematikern Fibonacci att delta i en matematisk tävling mot flera andra matematiker, med tre problem som ställdes av hans hovfilosof John of Palermo. Det första av dessa problem bad om tre rationella tal vars kvadrater var lika åtskilda fem enheter från varandra, löst av Fibonacci med de tre talen ${\displaystyle {\tfrac {31}{12}}} ,$ 41 $\displaystyle {\ tfrac {41}{12}}}$ och ${\tfrac {49}{12}}$ . I The Book of Squares , publicerad senare samma år av Fibonacci, löste han det mer allmänna problemet med att hitta trippel av kvadrattal som är lika åtskilda från varandra, vilket bildar en aritmetisk progression . Fibonacci kallade gapet mellan dessa siffror för ett kongruum . Ett sätt att beskriva Fibonaccis lösning är att talen som ska kvadreras är skillnaden mellan benen, hypotenusan och summan av benen i en Pythagoras triangel , och att kongruumet är fyra gånger arean av samma triangel. Fibonacci observerade att det är omöjligt för ett kongruum att vara ett kvadrattal i sig, men presenterade inte ett tillfredsställande bevis för detta faktum.

Om tre rutor skulle $a^{2}$ , $b^{2}$ och $c^{2}$ kunna bilda en aritmetisk progression vars kongruum också var en kvadrat $d^{2}$ , då skulle dessa tal uppfylla de diofantiska ekvationerna

$${\begin{aligned}a^{2}+d^{2}&=b^{2},\\b^{2}+d^{2}&=c^{2}.\ \\end{aligned}}$$

Det vill säga, enligt Pythagoras sats skulle de bilda två heltalssidiga räta trianglar där paret $(d,b)$ ger ett ben och hypotenusan för den mindre triangeln och samma par också bildar de två benen i den större triangeln. Men om (som Fibonacci hävdade) inget kvadratiskt kongruum kan existera, så kan det inte finnas två heltalsräta trianglar som delar två sidor på detta sätt.

Ytor av räta trianglar

Eftersom kongrua är exakt de tal som är fyra gånger arean av en pythagoras triangel, och multiplikation med fyra inte ändrar om ett tal är kvadratiskt, är förekomsten av ett kvadratiskt kongruum ekvivalent med förekomsten av en pytagoreisk triangel med en kvadratisk area . Det är denna variant av problemet som Fermats bevis rör: han visar att det inte finns någon sådan triangel. När han övervägde detta problem inspirerades Fermat inte av Fibonacci utan av en upplaga av Arithmetica av Diophantus , publicerad i en översättning till franska 1621 av Claude Gaspar Bachet de Méziriac . Den här boken beskrev olika speciella rätvinkliga trianglar vars områden hade former relaterade till kvadrater, men tog inte hänsyn till fallet med områden som själva var kvadratiska.

Genom att ordna om ekvationerna för de två pytagoreiska trianglarna ovan och sedan multiplicera dem med varandra, får man den enda diofantiska ekvationen

$$b^{4}-d^{4}=(b^{2}-d^{ 2})(b^{2}+d^{2})=a^{2}c^{2}$$

vilket kan förenklas genom att införa en ny variabel $e=ac$ till

$$b^{4}-d^{4}=e^{2}.$$

Omvänt leder alla tre positiva heltal som följer ekvationen $b^{4}-d^{4}=e^{2}$ till ett kvadratkongruum: för dessa tal, kvadraterna $(b^{4}-d^{4}-2b^{2}d^{2})^{2}$ , $(b^{4}+d^{4})^{2}$ och $(b^{4 }-d^{4}+2b^{2}d^{2})^{2}$ bildar en aritmetisk progression med kongruum ${\displaystyle 4b^{2}d^{2}(b^{4}-d^{4})=(2bde)^{2}} ,$ som är en kvadrat i sig. Sålunda är lösbarheten för $b^{4}-d^{4}=e^{2}$ ekvivalent med förekomsten av ett kvadratiskt kongruum. Men om Fermats sista sats hade ett motexempel för exponenten $4$ , en heltalslösning till ekvationen $x^{4}+y^{4}=z^ {4}$ , att sedan kvadrera ett av de tre talen i motexemplet skulle ge tre tal som löser ekvationen $b^{4}-d^{4}=e^{2 }$ . Därför antyder Fermats bevis på att ingen pytagoreisk triangel har en kvadratisk area sanningen i exponent- $4$ -fallet i Fermats sista sats.

En annan likvärdig formulering av samma problem involverar kongruenta siffror , de tal som är områden med räta trianglar vars tre sidor alla är rationella tal . Genom att multiplicera sidorna med en gemensam nämnare kan vilket kongruent tal som helst omvandlas till arean av en pytagoreisk triangel, varav det följer att de kongruenta talen är exakt de tal som bildas genom att multiplicera ett kongruum med kvadraten på ett rationellt tal. Därför är förekomsten av ett kvadratiskt kongruum ekvivalent med påståendet att talet 1 inte är ett kongruent tal. Ett annat mer geometriskt sätt att uttrycka denna formulering är att det är omöjligt för en kvadrat (den geometriska formen) och en rätvinklig triangel att ha båda lika ytor och att alla sidor står i proportion till varandra.

Elliptisk kurva

Den elliptiska kurvan y ² = x ( x + 1)( x − 1) . De tre rationella punkterna (−1,0), (0,0) och (1,0) är korsningarna av denna kurva med x -axeln.

Ytterligare en annan ekvivalent form av Fermats sats involverar den elliptiska kurvan som består av de punkter vars kartesiska koordinater $(x,y)$ uppfyller ekvationen

$$y^{2}=x(x+1)(x-1).$$

Punkterna (−1,0), (0,0) och (1,0), ger uppenbara lösningar på denna ekvation. Fermats sats motsvarar påståendet att dessa är de enda punkterna på kurvan för vilka både $x$ och $y$ är rationella. Mer generellt motsvarar de räta trianglarna med rationella sidor och area ${\displaystyle n} en-för-en med de rationella punkterna med positiv$$y$ -koordinat på den elliptiska kurvan $y^{2}=x(x+n)(xn)$ .

Fermats bevis

Under sin livstid utmanade Fermat flera andra matematiker att bevisa icke-existensen av en pytagoreisk triangel med kvadratisk area, men publicerade inte beviset själv. Han skrev dock ett bevis i sin kopia av Diophantus's Arithmetica , samma kopia där han skrev att han kunde bevisa Fermats sista sats . Fermats son Clement-Samuel publicerade en upplaga av den här boken, inklusive Fermats marginalanteckningar med beviset för den räta triangelsatsen, 1670.

Fermats bevis är ett bevis av oändlig härkomst . Den visar att man kan härleda ett mindre exempel från vilket exempel som helst på en pytagoreisk triangel med kvadratisk area. Eftersom pythagoras trianglar har positiva heltalsareor, och det inte finns en oändligt fallande sekvens av positiva heltal, kan det inte heller existera en pythagoras triangel med kvadratisk area.

Mer detaljerat, anta att $x$ , $y$ och $z$ är heltalssidorna i en rätvinklig triangel med kvadratisk area. Genom att dividera med vilka som helst gemensamma faktorer kan man anta att denna triangel är primitiv och från den kända formen av alla primitiva Pythagoras trippel kan man sätta $x=2pq$ , ${ \displaystyle y=p^{2}-q^{2}}$ , och $z=p^{2}+q^{2}$ , genom vilka problemet omvandlas till hitta relativt primtal heltal $p$ och $q$ (varav en är jämn) så att arean $pq(p^{2}-q^ {2})$ är kvadratisk. För att detta tal ska vara en kvadrat måste dess fyra linjära faktorer $p$ , $q$ , $p+q$ och $pq$ (som är relativt primtal) måste själva vara kvadrater; låt $p+q=r^{2}$ och $pq=s^{2}$ . Både $r$ och $s$ måste vara udda eftersom exakt en av $p$ eller $q$ är jämn och den andra är udda. Därför är både $rs$ och $r+s$ jämna, och en av dem är delbar med 4. Att dividera dem med två ger ytterligare två heltal $u=(rs)/2$ och ${\displaystyle v=(r+s)/2} ,$ varav en är jämnt med föregående mening. Eftersom $u^{2}+v^{2}=(r^{2}+s^{2})/2=p$ är en kvadrat, $u$ och $v$ är benen på en annan primitiv pythagoras triangel vars area är $uv/2=q/4$ . Eftersom $q$ i sig är en kvadrat och eftersom $uv$ är jämn, är $q/4$ en kvadrat. Sålunda leder vilken pytagoreisk triangel som helst med kvadratisk area till en mindre Pythagoras triangel med kvadratisk area, vilket kompletterar beviset.

Anteckningar

•    Barbara, Roy (juli 2007), "91.33 Fermats sista sats i fallet $n=4$ ", Notes, The Mathematical Gazette , 91 (521): 260–262, doi : 10.1017/S002555720X0185163X , JSTOR 40378352 , S2CID 125255403
•   Beiler, Albert H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers: The Queen of Mathematics Entertains , Dover Books, sid. 153, ISBN 978-0-486-21096-4
•   Bradley, Michael John (2006), The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300 , Infobase Publishing, sid. 124, ISBN 978-0-8160-5423-7
• Conrad, Keith (Hösten 2008), "The congruent number problem" (PDF) , Harvard College Mathematical Review , 2 (2): 58–73, arkiverad från originalet (PDF) 2013-01-20
• Cooper, Joshua; Poirel, Chris (2008), Pythagoras partitionsregelbundenhet och ordnade trippelsystem med summaegenskapen , arXiv : 0809.3478
• Dickson, Leonard Eugene (1920), "Summan eller skillnaden mellan två biquadrates aldrig en kvadrat; arean av en rationell rät triangel aldrig en kvadrat", History of theory of Numbers, Volym II: Diophantine Analysis, Carnegie Institution of Washington, s. 615–620
•   Edwards, Harold M. (2000), "1.6 Fermats enda bevis" , Fermats sista sats: A Genetic Introduction to Algebraic Number Theory , Graduate Texts in Mathematics, vol. 50, Springer, s. 10–14, ISBN 978-0-387-95002-0
• Goldstein, Catherine (1995), Un théorème de Fermat et ses lecteurs , Saint-Denis: Presses Universaires de Vincennes
•    Grant, Mike; Perella, Malcolm (juli 1999), "83.25 Descending to the irrational", Notes, The Mathematical Gazette , 83 (497): 263–267, doi : 10.2307/3619054 , JSTOR 3619054 9251CID 9251CID 7251C
•   Kato, Kazuya; Saitō, Takeshi (2000), Talteori: Fermats dröm , Översättningar av matematiska monografier, översatt av Nobushige Kurokawa, American Mathematical Society, sid. 17, ISBN 978-0-8218-0863-4
•   Koblitz, Neal (1993), Introduktion till elliptiska kurvor och modulära former , Graduate Texts in Mathematics, vol. 97 (andra upplagan), Springer-Verlag, ISBN 0-387-97966-2
•   Ore, Øystein (2012), Talteori och dess historia , Dover Books, s. 202–203, ISBN 978-0-486-13643-1
•   Stillwell, John (1998), "4.7 The area of ​​rational right triangles" , Numbers and Geometry , Undergraduate Texts in Mathematics , Springer, s. 131–133, ISBN 978-0-387-98289-2