Förväntat värde av exempelinformation

I beslutsteorin är det förväntade värdet av urvalsinformation ( EVSI ) den förväntade ökningen av användbarheten som en beslutsfattare skulle kunna få genom att få tillgång till ett urval av ytterligare observationer innan han fattar ett beslut. Den ytterligare information som erhålls från urvalet kan göra det möjligt för dem att fatta ett mer välgrundat, och därmed bättre, beslut, vilket resulterar i en ökning av förväntad användbarhet. EVSI försöker uppskatta vad denna förbättring skulle vara innan man ser faktiska exempeldata; därför är EVSI en form av vad som kallas preposterior analys . Användningen av EVSI i beslutsteori populariserades av Robert Schlaifer och Howard Raiffa på 1960-talet.

Formulering

Låta

${\ displaystyle {\begin{array}{ll}d\in D&{\mbox{beslutet som fattas, valt från rymden }}D\\x\i X&{\mbox{ett osäkert tillstånd, med sant värde i rymden }} X\\z\in Z&{\mbox{ett observerat prov som består av }}n{\mbox{ observationer }}\langle z_{1},z_{2},..,z_{n}\rangle \\U (d,x)&{\mbox{nyttan för att välja beslut }}d{\mbox{ från }}x\\p(x)&{\mbox{den tidigare subjektiva sannolikhetsfördelningen (densitetsfunktion) på }}x \\p(z|x)&{\mbox{den villkorade föregående sannolikheten att observera provet }}z\end{array}}}$

Det är vanligt (men inte nödvändigt) i EVSI-scenarier för $Z_{i}=X$ , $p(z|x )=\prod p(z_{i}|x)$ och $\int zp(z|x)dz=x$ , vilket vill säga att varje observation är en opartisk sensoravläsning av det underliggande tillståndet $x$ , där varje sensoravläsning är oberoende och identiskt fördelad.

Nyttan från det optimala beslutet baserat endast på föregående, utan att göra några ytterligare observationer, ges av

$E[U]=\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(x)~dx.$

Om beslutsfattaren kunde få tillgång till ett enda prov, $z$ , skulle den optimala bakre nyttan vara

$E[U|z]=\max _{d\in D}~\int _{X}U (d,x)p(x|z)~dx$

där $p(x|z)$ erhålls från Bayes regel :

$p(x|z)={{p(z|x)p(x)} \över {p(z)}};$

$p(z)=\int p(z|x)p(x)~dx.$

Eftersom de inte vet vilket prov som faktiskt skulle erhållas om ett erhölls, måste de medelvärde över alla möjliga prover för att få den förväntade nyttan givet ett prov:

$E[U|SI]=\int _{Z}E[U|z]p(z)dz=\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X} U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz.$

Det förväntade värdet av provinformationen definieras sedan som

${\begin{array}{rl}EVSI&=E[U|SI]-E[U]\\&=\left(\int _{Z}\max _{d\in D}~\int _{X}U(d,x)p(z|x)p(x)~dx~dz\höger)-\vänster(\max _{d\in D}~\int _{X}U(d ,x)p(x)~dx\right).\end{array}}$

Beräkning

Det är sällan möjligt att utföra integrationen över utrymmet för möjliga observationer i E[U|SI] analytiskt, så beräkningen av EVSI kräver vanligtvis en Monte Carlo-simulering . Metoden går ut på att slumpmässigt simulera ett urval, ${\displaystyle z^{i}=\langle z_{1}^{i},z_{2}^{i},..,z_{n}^{i}\rangle } ,$ sedan använder den för att beräkna den bakre $p(x|z^{i})$ och maximerar nyttan baserat på $p(x|z^{i })$ . Hela denna process upprepas sedan många gånger, för $i=1,..,M$ för att erhålla ett Monte Carlo-prov av optimala verktyg. Dessa är medelvärde för att erhålla den förväntade nyttan givet ett hypotetiskt urval.

Exempel

En tillsynsmyndighet ska besluta om en ny behandling ska godkännas. Innan de fattar det slutgiltiga beslutet att godkänna/avslå, frågar de vad värdet skulle vara av att genomföra en ytterligare försöksstudie på $n$ ämnen. Denna fråga besvaras av EVSI.

diagram över EVSI-modellen

Diagrammet visar ett påverkansdiagram för beräkning av EVSI i detta exempel.

Modellen klassificerar resultatet för ett givet ämne i en av fem kategorier:

$Z_{i}=$ {"Kur", "Förbättring", "Ineffektiv", "Lätt bieffekt", "Allvarlig bieffekt"}

Och för vart och ett av dessa utfall, tilldelar en nytta lika med ett uppskattat patientekvivalent monetärt värde av resultatet.

Ett beslutstillstånd, $x$ i detta exempel är en vektor med fem tal mellan 0 och 1 som summerar till 1, vilket ger andelen framtida patienter som kommer att uppleva vart och ett av de fem möjliga utfallen. Till exempel, ett tillstånd $x=[5\%,60\%,20\%,10\%,5\%]$ betecknar fallet där 5 % av patienterna blir botade, 60 % förbättras, 20 % finner behandlingen ineffektiv, 10 % upplever milda biverkningar och 5 % upplever farliga biverkningar.

Den föregående, $p(x)$ kodas med hjälp av en Dirichlet-fördelning , som kräver fem tal (som inte summerar till 1) vars relativa värden fångar den förväntade relativa andelen av varje resultat, och vars summa kodar styrkan i denna tidigare övertygelse. I diagrammet finns parametrarna för Dirichlet-fördelningen i variabeln dirichlet alpha prior , medan själva prior-fördelningen finns i chansvariabeln Prior . Sannolikhetstäthetsgrafen för marginalerna visas här :

I chansvariabeln Försöksdata simuleras försöksdata som ett Monte Carlo-prov från en multinomfördelning . Till exempel, när Trial_size=100 , innehåller varje Monte Carlo-prov av Trial_data en vektor som summeras till 100 som visar antalet försökspersoner i den simulerade studien som upplevde vart och ett av de fem möjliga resultaten. Följande resultattabell visar de första 8 simulerade testresultaten:

Att kombinera dessa försöksdata med en Dirichlet-förut kräver endast att utfallsfrekvenserna läggs till Dirichlets föregående alfavärden, vilket resulterar i en Dirichlet-postteriorfördelning för varje simulerad försök. För var och en av dessa fattas beslutet om godkännande baserat på om medelnyttan är positiv, och med hjälp av en nytta på noll när behandlingen inte är godkänd erhålls Pre-posterior nyttan . Genom att upprepa beräkningen för en rad möjliga försöksstorlekar, erhålls en EVSI för varje möjlig provstorlek som avbildas i denna graf:

Jämförelse med relaterade åtgärder

Expected value of sample information (EVSI) är en uppmjukning av det förväntade värdet för perfekt information (EVPI), som kodar för ökningen av nyttan som skulle erhållas om man skulle lära sig det verkliga underliggande tillståndet, $x$ . I huvudsak indikerar EVPI värdet av perfekt information, medan EVSI indikerar värdet av viss begränsad och ofullständig information.

Det förväntade värdet av inklusive osäkerhet (EVIU) jämför värdet av att modellera osäker information jämfört med att modellera en situation utan att ta hänsyn till osäkerhet. Eftersom osäkerhetens inverkan på beräknade resultat ofta analyseras med Monte Carlo-metoder , verkar EVIU vara mycket lik värdet av att utföra en analys med hjälp av ett Monte Carlo-prov , som i uttalandet mycket liknar begreppet som fångats med EVSI. Emellertid är EVSI och EVIU ganska distinkta - en anmärkningsvärd skillnad mellan det sätt på vilket EVSI använder Bayesiansk uppdatering för att införliva det simulerade provet.

Se även

• Förväntat värde av perfekt information ( EVPI)
• Förväntat värde av inklusive osäkerhet (EVIU)

Vidare läsning

•   Hamburg, Morris; Young, Peg (1993). "Utforma optimala strategier före provtagning". Statistisk analys för beslutsfattande . Fort Worth: Dryden Press. s. 731–766. ISBN 0-03-096914-X .