Eulers skiva

Datorrendering av Eulers skiva på en något konkav bas

Euler's Disk , uppfann mellan 1987 och 1990 av Joseph Bendik, är ett varumärke för en vetenskaplig pedagogisk leksak . Den används för att illustrera och studera det dynamiska systemet hos en snurrande och rullande skiva på en plan eller krökt yta. Det har varit föremål för flera vetenskapliga artiklar.

Upptäckt

Joseph Bendik noterade först den intressanta rörelsen hos den snurrande skivan när han arbetade på Hughes Aircraft (Carlsbad Research Center) efter att ha snurrat en tung polerchuck på sitt skrivbord vid lunch en dag.

Apparaten är en dramatisk visualisering av energiutbyten i tre olika, tätt kopplade processer. När skivan gradvis minskar sin azimutala rotation, sker också en minskning av amplituden och en ökning av frekvensen av skivans axiella precession .

Utvecklingen av skivans axiella precession visualiseras enkelt i en slow motion-video genom att titta på sidan av skivan efter en enda punkt markerad på skivan. Utvecklingen av skivans rotation kan lätt visualiseras i slow motion genom att titta på toppen av skivan efter en pil ritad på skivan som representerar dess radie.

När skivan släpper den initiala energin som ges av användaren och närmar sig ett stopp, saktar dess rotation kring den vertikala axeln ner, medan dess kontaktpunktsoscillation ökar. Upplyst från ovan, dess kontaktpunkt och närliggande nedre kant i skugga, verkar skivan sväva innan den stannar.

Bendik döpte leksaken efter matematikern Leonhard Euler .

Den kommersiella leksaken består av en tung, tjock förkromad stålskiva och en styv, något konkav , speglad bas. Medföljande holografiska magnetiska klistermärken kan fästas på skivan, för att förstärka den visuella effekten av vinglande. Dessa bilagor kan dock göra det svårare att se och förstå processerna i arbetet.

När den snurras på en plan yta uppvisar skivan en snurrande/rullande rörelse, långsamt framåt genom olika hastigheter och typer av rörelse innan den kommer till vila. Mest anmärkningsvärt är att precessionshastigheten för skivans symmetriaxel ökar när skivan snurrar nedåt. Spegelbasen ger en yta med låg friktion; dess lätta konkavitet hindrar skivan från att "vandra" från ytan.

Varje skiva, snurrad på en ganska plan yta (som ett mynt snurrat på ett bord), kommer att uppvisa i stort sett samma typ av rörelse som en Euler-skiva, men under en mycket kortare tid. Kommersiella skivor ger en mer effektiv demonstration av fenomenet, med ett optimerat bildförhållande och en precisionspolerad, lätt rundad kant för att maximera spinn-/rullningstiden.

Fysik

En snurrande/rullande skiva kommer till slut att vila ganska abrupt, och det sista steget av rörelsen ackompanjeras av ett surrande ljud med snabbt ökande frekvens. När skivan rullar beskriver rullkontaktpunkten en cirkel som oscillerar med en konstant vinkelhastighet $\omega$ . Om rörelsen är icke-dissipativ (friktionsfri), $\omega$ konstant och rörelsen kvarstår för alltid; detta strider mot observation, eftersom $\omega$ inte är konstant i verkliga situationer. I själva verket närmar sig precessionshastigheten för symmetriaxeln en ändlig tidssingularitet modellerad av en potenslag med exponent ungefär -1/3 (beroende på specifika förhållanden).

Det finns två iögonfallande dissipativa effekter: rullande friktion när skivan glider längs ytan, och luftmotstånd från luftmotstånd. Experiment visar att rullande friktion är huvudsakligen ansvarig för förlusten och beteendet - experiment i vakuum visar att frånvaron av luft endast påverkar beteendet något, medan beteendet (precessionshastigheten) systematiskt beror på friktionskoefficienten . I gränsen för liten vinkel (dvs omedelbart innan skivan slutar snurra) är luftmotstånd (särskilt viskös avledning ) den dominerande faktorn, men före detta slutskede är rullfriktion den dominerande effekten.

Stadig rörelse med skivans mitt i vila

Beteendet hos en snurrande skiva vars centrum är i vila kan beskrivas enligt följande. Låt linjen från skivans mitt till kontaktpunkten med planet kallas axel ${\widehat {\mathbf {3} }}$ . Eftersom mitten av skivan och kontaktpunkten är momentant i vila (förutsatt att det inte finns någon glidning) är axel ${\widehat {\mathbf {3} }}$ den momentana rotationsaxeln. Vinkelmomentet är $\mathbf {L} =kMa^{2}\omega {\widehat {\mathbf {3} }}$ vilket gäller för vilken tunn, cirkulärt symmetrisk skiva som helst med massa $M$ ; $k=1/2$ för en skiva med massa koncentrerad vid kanten, $\displaystyle k=1/4}$ skiva), ${ \displaystyle a}$ är radien på skivan, och $\omega$ är vinkelhastigheten längs ${\widehat {\mathbf {3} }}$ .

Kontaktkraften $\mathbf {F}$ är $Mg{\widehat {\mathbf {z} }}$ där $g$ är gravitationsaccelerationen och ${\ displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}$ är den vertikala axeln som pekar uppåt. Vridmomentet kring massans centrum är ${\displaystyle \mathbf {N} =a{\widehat {\mathbf {3} }}\times Mg{\widehat {\mathbf {z} }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}} som$ vi kan skriva om som ${\frac {d\mathbf {L } }{dt}}={\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {L}$ där ${\boldsymbol {\Omega }}=-{\frac { g}{ak\omega }}{\widehat {\mathbf {z} }}$ . Vi kan dra slutsatsen att både rörelsemängden $\mathbf {L}$ och skivan precesserar kring den vertikala axeln ${\widehat {\mathbf {z} }}$ med hastighet

$$\Omega ={\frac {g}{ak\omega }}$$

 

 

 

 

()

Samtidigt är $\Omega$ vinkelhastigheten för kontaktpunkten med planet. Låt oss definiera axel ${\widehat {\mathbf {1} }}$ så att den ligger längs skivans symmetriaxel och pekar nedåt. Då gäller det att ${\widehat {\mathbf {z} }}=-\cos \alpha {\widehat {\mathbf {1} }} -\sin \alpha {\widehat {\mathbf {3} }}$ , där $\alpha$ är skivans lutningsvinkel i förhållande till horisontalplanet. Vinkelhastigheten kan tänkas vara sammansatt av två delar ${\displaystyle \omega {\widehat {\mathbf {3} }}=\Omega {\widehat {\mathbf { z} }}+\omega _{\text{rel}}{\widehat {\mathbf {1} }}} , där$ ω $\displaystyle \omega _{\text{rel}}}$ är vinkelhastigheten för skivan längs sin symmetriaxel. Från geometrin drar vi lätt slutsatsen att:

$${\begin{aligned}\omega &=-\Omega \sin \alpha ,\\\omega _{\text{rel}}&= \Omega \cos \alpha \\\end{aligned}}$$

Om vi ​​pluggar in $\omega =-\Omega \sin \alpha$ i ekvation ( 1 ) får vi slutligen

$$\Omega ^{2}={\frac {g}{ak\sin \alpha }}$$

 

 

 

 

()

När $\alpha$ adiabatiskt närmar sig noll, blir vinkelhastigheten för kontaktpunkten $\Omega$ mycket stor, och man hör ett högfrekvent ljud associerat med den snurrande skivan. Men rotationen av figuren på myntets framsida, vars vinkelhastighet är $\Omega -\omega _{\text{rel}}=\ Omega (1-\cos \alpha ),$ närmar sig noll. Den totala vinkelhastigheten $\omega =-{\sqrt {\frac {g\sin \alpha }{ak}}}$ försvinner också liksom den totala energin

$$E =Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}kMa^{2}\omega ^{2}=Mga\sin \alpha +{\tfrac {1}{2}}Mka^{2} {\frac {g\sin \alpha }{ak}}={\tfrac {3}{2}}Mga\sin \alpha$$

när $\alpha$ närmar sig noll. Här har vi använt ekvationen ( 2 ).

När $\alpha$ närmar sig noll tappar skivan slutligen kontakten med bordet och skivan lägger sig sedan snabbt på den horisontella ytan. Man hör ljud med en frekvens ${\displaystyle {\frac {\Omega }{2\pi }}} ,$ som blir dramatiskt högre, ${\displaystyle {\frac {1 }{2\pi }}{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\sqrt {\frac {1}{\sin \alpha }}}} , när figurens rotationshastighet minskar$ , $2{\sqrt {\frac {g}{ak}}}{\frac {(\sin {\frac {\alpha }{2}})^{ 2}}{\sqrt {\sin \alpha }}}$ , tills ljudet abrupt upphör.

Levitationsillusion

När en cirkulärt symmetrisk skiva sätter sig, svänger avståndet mellan en fast punkt på den stödjande ytan och den rörliga skivan ovanför med ökande frekvens, i synk med rotationsaxelns vinkel från vertikal.

Levitationsillusionen uppstår när skivkanten reflekterar ljus när den lutas något upp ovanför den stödjande ytan, och i skuggan när den lutas något ned i kontakt. Skuggan uppfattas inte och de snabbt blinkande reflektionerna från kanten ovanför stödytan uppfattas som en stadig höjd. Se ihållande syn .

Levitationsillusionen kan förstärkas genom att optimera kurvan för den nedre kanten så att skugglinjen förblir hög när skivan lägger sig. En spegel kan ytterligare förstärka effekten genom att dölja stödytan och visa separation mellan rörlig skivyta och spegelbild.

Diskfel, sedda i skugga, som kan hindra illusionen, kan döljas i ett hudmönster som suddas ut under rörelse.

US Quarter exempel

Ett rent US Quarter (präglat 1970-2022), som roterar på en platt handspegel, sett från sidan nära spegelytan, demonstrerar fenomenet i några sekunder.

Upplysta av en punktkälla direkt över mitten av den snart att sedimentera kvarten, är sidoåsar upplysta när rotationsaxeln är borta från betraktaren och i skuggan när rotationsaxeln är mot betraktaren. Vibrationer suddar ut åsarna och huvuden eller svansarna är för förkortade för att visa rotation.

Forskningens historia

Moffatt

I början av 2000-talet startade forskningen av en artikel i Nature 20 april 2000 , där Keith Moffatt visade att trögflytande avledning i det tunna luftlagret mellan skivan och bordet skulle vara tillräckligt för att redogöra för den observerade abruptheten av avvecklingsprocessen. Han visade också att motionen avslutades i en ändlig tid singularitet . Hans första teoretiska hypotes motsagdes av efterföljande forskning, som visade att rullande friktion faktiskt är den dominerande faktorn.

Moffatt visade att när tiden $t$ närmar sig en viss tid $t_{0}$ (vilket matematiskt är en integrationskonstant ), närmar sig den viskösa dissipationen oändligheten . Den singularitet som detta innebär realiseras inte i praktiken, eftersom storleken på den vertikala accelerationen inte kan överstiga accelerationen på grund av gravitationen (skivan tappar kontakt med sin stödyta). Moffatt fortsätter med att visa att teorin går sönder vid en tidpunkt $\tau$ före den slutliga sättningstiden $t_{0}$ , givet av:

$\tau \simeq \left[\left({\frac {2a}{9g}}\right)^{3}{ \frac {2\pi \mu a}{M}}\right]^{1/5}$

där $a$ är skivans radie, $g$ är accelerationen på grund av jordens gravitation, $\mu$ luftens dynamiska viskositet och $\displaystyle M}$ { massan av disken. För den kommersiellt tillgängliga leksaken Euler's Disk (se länk i "Externa länkar" nedan), $\tau$ cirka $10^{-2}$ sekunder, då vinkeln mellan myntet och ytan, $\alpha$ , är ungefär 0,005 radianer och den rullande vinkelhastigheten, $\Omega$ , är ungefär 500 Hz.

Med ovanstående notation är den totala snurr-/rullningstiden:

$t_{0}={\frac {\alpha _{0}^{3}M}{2\pi \mu a}}$

där $\alpha _{0}$ är skivans initiala lutning, mätt i radianer . Moffatt visade också att, om ${\displaystyle t_{0}-t>\tau } ,$ ges den ändliga singulariteten i ${\displaystyle \Omega } av$

$\Omega \sim (t_{0}-t)^{-1/6}$

Experimentella resultat

Moffatts teoretiska arbete inspirerade flera andra arbetare att experimentellt undersöka den dissipativa mekanismen hos en spinnande/rullande skiva, med resultat som delvis motsäger hans förklaring. Dessa experiment använde snurrande föremål och ytor med olika geometrier (skivor och ringar), med varierande friktionskoefficienter, både i luft och i vakuum, och använde instrumentering som höghastighetsfotografering för att kvantifiera fenomenet .

Nature den 30 november 2000 diskuterar fysikerna Van den Engh, Nelson och Roach experiment där skivor snurrades i ett vakuum. Van den Engh använde en rijksdaalder , ett holländskt mynt, vars magnetiska egenskaper gjorde att det kunde snurras i en exakt bestämd hastighet. De fann att glidning mellan skivan och ytan kunde förklara observationer, och närvaron eller frånvaron av luft påverkade endast i ringa grad skivans beteende. De påpekade att Moffatts teoretiska analys skulle förutsäga en mycket lång spinntid för en skiva i vakuum, vilket inte observerades.

Moffatt svarade med en generaliserad teori som skulle tillåta experimentell bestämning av vilken dissipationsmekanism som är dominant, och påpekade att den dominanta dissipationsmekanismen alltid skulle vara viskös dissipation inom gränsen för liten α {\ $\alpha }$ (dvs. precis före skivan sätter sig).

Senare arbete vid University of Guelph av Petrie, Hunt och Gray visade att genomförandet av experimenten i vakuum (tryck 0,1 pascal ) inte signifikant påverkade energiförlusten. Petrie et al. visade också att hastigheterna i stort sett var opåverkade av att skivan ersattes med en ringform , och att halkskyddet var uppfyllt för vinklar större än 10°. Ett annat arbete av Caps, Dorbolo, Ponte, Croisier och Vandewalle har kommit fram till att luften är en mindre källa till energiavledning. Den huvudsakliga energiavledningsprocessen är rullningen och glidningen av skivan på den stödjande ytan. Det visades experimentellt att lutningsvinkeln, precessionshastigheten och vinkelhastigheten följer effektlagens beteende.

Vid flera tillfällen under strejken i Writers Guild of America 2007–2008 snurrade talkshowvärden Conan O'Brien sin vigselring på sitt skrivbord och försökte snurra ringen så länge som möjligt. Strävan efter att uppnå längre och längre snurrtider fick honom att bjuda in MIT -professorn Peter Fisher till showen för att experimentera med problemet. Att snurra ringen i vakuum hade ingen identifierbar effekt, medan en teflon- snurrande stödyta gav en rekordtid på 51 sekunder, vilket bekräftar påståendet att rullande friktion är den primära mekanismen för kinetisk energiförlust. Olika typer av rullande friktion som primär mekanism för energiförlust har studerats av Leine som experimentellt bekräftade att friktionsmotståndet för rörelsen av kontaktpunkten över skivans kant med största sannolikhet är den primära förlustmekanismen på en tid -sekundersskala.

I populärkulturen

Euler's Disks dyker upp i filmen Snow Cake från 2006 och i TV-programmet The Big Bang Theory , säsong 10, avsnitt 16, som sändes 16 februari 2017.

Ljudteamet för filmen Pearl Harbor från 2001 använde en snurrande Euler's Disk som ljudeffekt för torpeder. Ett kort klipp av ljudteamet som lekte med Euler's Disk spelades upp under Academy Awards-presentationerna.

Principerna för Euler Disk användes med specialgjorda ringar på ett bord som ett futuristiskt inspelningsmedium i filmen The Time Machine från 1960 .

Se även

• Lista över ämnen uppkallade efter Leonhard Euler
• Tippe top – ännu en spinnande fysikleksak som uppvisar överraskande beteende

externa länkar

• Eulersdisk.com
• Fysiken hos ett snurrande mynt (20 april 2000) PhysicsWeb
• Experimentell och teoretisk undersökning av energiförlusten av en rullande skiva under dess sista rörelseskede (12 december 2008) Arch Appl Mech
• Kommentar till Moffat's Disk (31 mars 2002)
• "Eulers skiva" . Verkliga fysikproblem . real-world-physics-problems.com . Hämtad 2014-07-11 . Detaljerad matematisk fysikanalys av diskrörelse
• En YouTube-video av en Euler's Disk i aktion