Epi-konvergens

Inom matematisk analys är epikonvergens en typ av konvergens för verkligt värderade och utökade verkligt värderade funktioner .

Epi-konvergens är viktigt eftersom det är det lämpliga begreppet konvergens för att approximera minimeringsproblem inom området matematisk optimering . Den symmetriska föreställningen om hypokonvergens är lämplig för maximeringsproblem. Mosco-konvergens är en generalisering av epi-konvergens till oändliga dimensionella utrymmen.

Definition

Låt $X$ vara ett metriskt mellanslag och $f_{n}:X\to \mathbb {R}$ en verkligt värderad funktion för varje naturligt tal $n$ . Vi säger att sekvensen $(f^{n})$ epi-konvergerar till en funktion $f:X\to \mathbb {R}$ if för varje $x\in X$

${\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ för varje }}x_{n}\to x{\text{ och }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ för vissa }}x_{n}\ till x.\end{aligned}}$

Utökad verkligt värdeförlängning

Följande tillägg tillåter epi-konvergens att tillämpas på en sekvens av funktioner med icke-konstant domän.

Beteckna med ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}} de utökade$ reella talen . Låt $f_{n}$ vara en funktion $f_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ för varje ${ \displaystyle n\in \mathbb {N} }$ . Sekvensen $(f_{n})$ epikonvergerar till $f:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ om för varje $x\in X$

${\begin{aligned}&\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ för varje }}x_{n}\to x{\text{ och }}\\&\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x){\text{ för vissa }}x_{n}\ till x.\end{aligned}}$

Faktum är att epi-konvergens sammanfaller med $\Gamma$ -konvergensen i första räknebara utrymmen.

Hypokonvergens

Epi-konvergens är den lämpliga topologin för att approximera minimeringsproblem. För maximeringsproblem använder man det symmetriska begreppet hypokonvergens . $(f_{n})$ hypokonvergerar till $f$ om

$\limsup _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\leq f(x ){\text{ för varje }}x_{n}\till x$

och

$\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x_{n})\geq f(x){\text{ för vissa }}x_{n}\to x.$

Samband till minimeringsproblem

Antag att vi har ett svårt minimeringsproblem

$\inf _{x\in C}g(x)$

där $g:X\to \mathbb {R}$ och $C\subseteq X$ . Vi kan försöka approximera detta problem genom en sekvens av enklare problem

$\inf _{x\in C_{n}}g_{n}(x)$

för funktioner $g_{n}$ och ställer in $C_{n}$ .

Epikonvergens ger ett svar på frågan: I vilken mening ska approximationerna konvergera till det ursprungliga problemet för att garantera att approximativa lösningar konvergerar till en lösning av originalet?

Vi kan bädda in dessa optimeringsproblem i epikonvergensramverket genom att definiera utökade funktioner med verkligt värde

${\begin{aligned}f(x)&={\begin{cases}g(x),&x\in C,\\\infty ,&x\inte \in C,\end{cases}}\ \[4pt]f_{n}(x)&={\begin{cases}g_{n}(x),&x\i C_{n},\\\infty ,&x\inte \i C_{n}. \end{cases}}\end{aligned}}$

Så att problemen $\inf _{x\in X}f(x)$ och $\inf _{x\in X }f_{n}(x)$ är ekvivalenta med de ursprungliga respektive ungefärliga problemen.

Om $(f_{n})$ epi-konvergerar till $f$ , då $\limsup _{n\to \infty }[\inf f_{n}]\leq \inf f$ . Dessutom, om $x$ är en gränspunkt för minimering av ${\displaystyle f_{n}},$ så är $x$ en minimering av $f$ . I det här sammanhanget,

$\lim _{n\to \infty }\operatörsnamn {argmin} f_{n}\subseteq \operatörsnamn {argmin} f.$

Epikonvergens är den svagaste uppfattningen om konvergens som detta resultat gäller.

Egenskaper

• $(f_{n})$ epikonvergerar till $f$ om och endast om $(-f_{n})$ hypokonvergerar till $-f$ .
• $(f_{n})$ epi-konvergerar till $f$ om och endast om $(\operatorname {epi} f_{n})$ konvergerar till $\operatorname {epi} f$ som mängder, i Painlevé–Kuratowskis mening av mängdkonvergens. Här är $\operatorname {epi} f$ epigrafen för funktionen $f$ .
• Om $f_{n}$ epikonvergerar till $f$ , då är $f$ lägre halvkontinuerlig.
• Om $f_{n}$ är konvex för varje $n\in \mathbb {N}$ och $(f_{n})$ epi-konvergerar till $f$ , då är $f$ konvex.
• Om $f_{n}^{1}\leq f_{n}\leq f_{n}^{2}$ och båda $( f_{n}^{1})$ och $(f_{n}^{2})$ epi-konvergerar till $f$ , sedan $( f_{n})$ epi-konvergerar till $f$ .
• Om $(f_{n})$ konvergerar enhetligt till $f$ på varje kompakt uppsättning av $\mathbb {R} _{n}$ och ${ \displaystyle (f_{n})}$ är kontinuerliga, då $(f_{n})$ epikonvergerar och hypokonvergerar till $f$ .
• I allmänhet innebär epikonvergens varken eller impliceras av punktvis konvergens . Ytterligare antaganden kan läggas på en punktvis konvergent familj av funktioner för att garantera epi-konvergens.

• R. Tyrrell Rockafellar och Roger Wets , Variationsanalys. Kapitel 7 ; Vol. 317. Springer Science & Business Media, 2009.
• Peter Kall, Approximation to optimization problems: An elementary review ; Mathematics of Operations Research 19 , s. 9–18 (1986)
• Hedy Attouch och Roger Wets , Epigrafisk analys ; Annales de l'IHP Analyze non linéaire Vol. 6. 1989.