Γ-konvergens

Inom området matematisk analys för variationskalkylen är Γ-konvergens ( Gamma-konvergens ) ett begrepp om konvergens för funktionaler . Det introducerades av Ennio de Giorgi .

Definition

Låt $X$ vara ett topologiskt utrymme och ${\mathcal {N}}(x)$ betecknar mängden av alla områden av punkten $x\in X$ . Låt ytterligare $F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ vara en sekvens av funktionaler på $X$ . Γ $\Gamma {\text{-lower limit}}$ och $\Gamma {\text{-upper limit}}$ enligt följande:

$\Gamma {\text{-}}\ liminf _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N}}(x)}\liminf _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y),$

$\Gamma {\text{-}}\limsup _{n\to \infty }F_{n}(x)=\sup _{N_{x}\in {\mathcal {N }}(x)}\limsup _{n\to \infty }\inf _{y\in N_{x}}F_{n}(y)$ .

$F_{n}$ sägs $\Gamma$ -konvergera till $F$ , om det finns en funktionell $F$ så att $\Gamma {\text{-}}\liminf _{n\to \infty }F_{n}=\Gamma {\text{-}} \limsup _{n\to \infty }F_{n}=F$ .

Definition i första-räknebara utrymmen

I först-räknebara utrymmen kan definitionen ovan karakteriseras i termer av sekventiell $\Gamma$ -konvergens på följande sätt. Låt $X$ vara ett första-räknebart mellanslag och $F_{n}:X\to {\overline {\mathbb {R} }}$ en sekvens av funktionaler på $X$ . Då sägs $F_{n}$$\Gamma$ -konvergera till $\Gamma$ -limit $F:X\to {\ överlinje {\mathbb {R} }}$ om följande två villkor gäller:

• Nedre gräns olikhet: För varje sekvens $x_{n}\in X$ så att $x_{n}\to x$ som $n\to +\infty$ ,

${\displaystyle F(x)\leq \liminf _{n\to \infty }F_{n}(x_{n}).} Övre gräns olikhet: För varje$

• x $\displaystyle x\in X}$ finns det är en sekvens $x_{n}$ som konvergerar till $x$ så att

$F(x)\geq \limsup _{n\to \infty }F_{n}(x_{n})$

Det första villkoret innebär att $F$ ger en asymptotisk gemensam nedre gräns för $F_{n}$ . Det andra villkoret innebär att denna nedre gräns är optimal.

Relation till Kuratowski-konvergens

$\Gamma$ -konvergens är kopplat till begreppet Kuratowski-konvergens av mängder. Låt ${\text{epi}}(F)$ beteckna epigrafen för en funktion $F$ och låt $F_{n}:X\ att {\overline {\mathbb {R} }}$ vara en sekvens av funktionaler på $X$ . Sedan

${\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\liminf _{ n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\limsup _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}),$

${\text{epi}}(\Gamma {\text{-}}\limsup _ {n\to \infty }F_{n})={\text{K}}{\text{-}}\liminf _{n\to \infty }{\text{epi}}(F_{n}) ,$

där ${\text{K-}}\liminf$ betecknar Kuratowski-limes inferior och ${\text{K-}}\limsup$ Kuratowski-limes superior i produkten topologi för $X\times \mathbb {R}$ . Speciellt $(F_{n})_{n}$$\Gamma$ -konvergerar till $F$ i $X$ om och endast om $({\text{epi}}(F_{n}))_{n}$${\text{K}}$ -konvergerar till ${ \displaystyle {\text{epi}}(F)}$ i $X\times \mathbb {R}$ . Detta är anledningen till att $\Gamma$ -konvergens ibland kallas epi-konvergens .

Egenskaper

• Minimerare konvergerar till minimerare: Om $F_{n}$$\Gamma$ -konvergerar till $F$ , och $x_{n}$ är en minimerare för $F_{n}$ , då är varje klusterpunkt i sekvensen $x_{n}$ en minimering av $F$ .
• $\Gamma$ -gränser är alltid lägre halvkontinuerliga .
• $\Gamma$ -konvergens är stabil under kontinuerliga störningar: Om $F_{n}$$\Gamma$ -konvergerar till $F$ och $G:X\to [0,+\infty )$ är kontinuerlig, då kommer $F_{n}+G$$\Gamma$ -konvergera till $F+G$ .
• En konstant sekvens av funktionaler $F_{n}=F$ behöver inte nödvändigtvis $\Gamma$ -konvergera till $F$ , utan till relaxeringen av $F$ , den största lägre halvkontinuerliga funktionella under $F$ .

Ansökningar

En viktig användning för $\Gamma$ -konvergens är i homogeniseringsteorin . Det kan också användas för att noggrant motivera övergången från diskreta teorier till kontinuumteorier för material, till exempel i elasticitetsteori .

Se även

• Moskvakonvergens
• Kuratowski konvergens
• Epi-konvergens

• A. Braides: Γ-konvergens för nybörjare . Oxford University Press, 2002.
• G. Dal Maso: En introduktion till Γ-konvergens . Birkhäuser, Basel 1993.