Elliptiskt filter

Ett elliptiskt filter (även känt som ett Cauer-filter , uppkallat efter Wilhelm Cauer , eller som ett Zolotarev-filter , efter Yegor Zolotarev ) är ett signalbehandlingsfilter med utjämnat rippel -beteende (equiripple) i både passbandet och stoppbandet . Mängden rippel i varje band är oberoende justerbar, och inget annat filter av samma ordning kan ha en snabbare övergång i förstärkning mellan passbandet och stoppbandet , för de givna värdena på rippel (oavsett om rippeln är utjämnad eller inte). Alternativt kan man ge upp möjligheten att oberoende justera passbandet och stoppbandsrippeln, och istället designa ett filter som är maximalt okänsligt för komponentvariationer.

När rippeln i stoppbandet närmar sig noll, blir filtret ett typ I Chebyshev-filter . När rippeln i passbandet närmar sig noll, blir filtret ett Chebyshev-filter av typ II och slutligen, när båda rippelvärdena närmar sig noll, blir filtret ett Butterworth-filter .

Förstärkningen av ett elliptiskt lågpassfilter som funktion av vinkelfrekvensen ω ges av:

$G_{n}(\omega )={1 \över {\sqrt {1+\epsilon ^{2}R_ {n}^{2}(\xi ,\omega /\omega _{0})}}}$

där Rn är den _n : te ordningens elliptiska rationella funktion (ibland känd som en Chebyshev rationell funktion) och

$\omega _{0}$ är gränsfrekvensen

$\epsilon$ är rippelfaktorn

$\xi$ är selektivitetsfaktorn

Värdet på rippelfaktorn anger passbandsrippeln, medan kombinationen av rippelfaktorn och selektivitetsfaktorn anger stoppbandsrippeln.

Egenskaper

Frekvenssvaret för ett elliptiskt lågpassfilter av fjärde ordningen med ε = 0,5 och ξ = 1,05. Den minsta förstärkningen i passbandet och den maximala förstärkningen i stoppbandet visas också, samt övergångsområdet mellan normaliserad frekvens 1 och ξ

En närbild av övergångsregionen för ovanstående plot.

• I passbandet varierar den elliptiska rationella funktionen mellan noll och enhet. Förstärkningen av passbandet kommer därför att variera mellan 1 och $displaystyle 1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$ .
• I stoppbandet varierar den elliptiska rationella funktionen mellan oändlighet och diskrimineringsfaktorn $L_{n}$ som definieras som:

$L_{n}=R_{n}(\xi ,\xi )\,$

$1/{\sqrt {1+\epsilon ^{2}L_{n}^{2}}}$ av stoppbandet kommer därför att variera mellan 0 .

• I gränsen för $\xi \rightarrow \infty$ blir den elliptiska rationella funktionen ett Chebyshev polynom , och därför blir filtret ett Chebyshev typ I-filter , med rippelfaktor ε
• Eftersom Butterworth-filtret är en begränsande form av Chebyshev-filtret, följer det att i gränsen för ${\displaystyle \xi \rightarrow \infty } ,$ ω $\displaystyle \omega _{0}\rightarrow 0}$ och $\epsilon \rightarrow 0$ så att $\epsilon \,R_{n}(\xi ,1/\omega _{0})= 1$ filtret blir ett Butterworth-filter
• I gränsen för $\xi \rightarrow \infty$ , $\epsilon \rightarrow 0$ och $\omega _{0}\rightarrow 0$ så att $\xi \omega _{0}=1$ och $\epsilon L_{n}=\alpha$ , filtret blir ett Chebyshev typ II-filter med förstärkning

$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {1}{\alpha ^ {2}T_{n}^{2}(1/\omega )}}}}}$

Polar och nollor

₀ Log av det absoluta värdet av förstärkningen av ett elliptiskt filter av 8:e ordningen i komplext frekvensutrymme (s = σ + jω) med ε = 0,5, ξ = 1,05 och ω = 1. De vita fläckarna är poler och de svarta fläckarna är nollor. Det finns totalt 16 stolpar och 8 dubbelnollor. Det som verkar vara en enkel pol och nolla nära övergångsområdet är faktiskt fyra poler och två dubbla nollor som visas i den utökade vyn nedan. I den här bilden motsvarar svart en förstärkning på 0,0001 eller mindre och vit motsvarar en förstärkning på 10 eller mer.

En utökad vy i övergångsområdet för bilden ovan, som löser de fyra polerna och två dubbla nollor.

Nollorna för förstärkningen av ett elliptiskt filter kommer att sammanfalla med polerna för den elliptiska rationella funktionen, som härleds i artikeln om elliptiska rationella funktioner .

Polerna för förstärkningen av ett elliptiskt filter kan härledas på ett sätt som mycket liknar härledningen av polerna för förstärkningen av ett typ I Chebyshev-filter . För enkelhets skull, antag att gränsfrekvensen är lika med enhet. Polerna $(\omega _{pm})$ för förstärkningen av det elliptiska filtret kommer att vara nollorna för förstärkningens nämnare. Att använda den komplexa frekvensen $s=\sigma +j\omega$ betyder att:

$1+\epsilon ^{2}R_{n}^{2}(-js,\xi )=0\,$

Definiera $-js=\mathrm {cd} (w,1/\xi )$ där cd() är Jacobis elliptiska cosinusfunktion och använder definitionen av elliptiska rationella funktioner ger:

$1+\epsilon ^{2}\mathrm {cd} ^{2}\left({\frac {nwK_{n} }{K}},{\frac {1}{L_{n}}}\right)=0\,$

där $K=K(1/\xi )$ och $K_{n}=K(1/L_{n})$ . Lösning för w

$w={\frac {K}{nK_{n}}}\mathrm {cd} ^{-1 }\left({\frac {\pm j}{\epsilon }},{\frac {1}{L_{n}}}\right)+{\frac {mK}{n}}$

där de multipla värdena för den inversa cd()-funktionen görs explicit med hjälp av heltalsindexet m .

Polerna för den elliptiska förstärkningsfunktionen är då:

$s_{pm}=i\,\mathrm {cd} (w,1/\xi )\,$

Som är fallet för Chebyshev-polynomen kan detta uttryckas i explicit komplex form ( Lutovac & et al. 2001, § 12.8)

$s_{pm}={\frac {a+jb}{c}}$

$a=-\zeta _{n}{\sqrt {1-\zeta _{n}^{2}}}{\sqrt {1-x_{m}^{2}}}{ \sqrt {1-x_{m}^{2}/\xi ^{2}}}$

$b=x_{m}{ \sqrt {1-\zeta _{n}^{2}(1-1/\xi ^{2})}}$

$c=1-\zeta _{n}^{2}+x_{i}^{2}\zeta _{n}^{2}/\xi ^{2}$

där $\zeta _{n}$ är en funktion av $n,\,\epsilon$ och $\xi$ och $x_{m}$ är nollorna för den elliptiska rationella funktionen. $\zeta _{n}$ kan uttryckas för alla n i termer av Jacobi elliptiska funktioner, eller algebraiskt för vissa ordningar, speciellt order 1,2 och 3. För order 1 och 2 har vi

$\zeta _{1}={\frac {1}{\sqrt {1+\epsilon ^{2}}}}$

$\zeta _{2}={\frac {2}{(1+t){\sqrt {1+\epsilon ^ {2}}}+{\sqrt {(1-t)^{2}+\epsilon ^{2}(1+t)^{2}}}}}$

var

$t={\sqrt {1-1/\xi ^{2}}}$

Det algebraiska uttrycket för $\zeta _{3}$ är snarare involverat (Se Lutovac & et al. (2001, § 12.8.1)).

Kapslingsegenskapen för de elliptiska rationella funktionerna kan användas för att bygga upp uttryck av högre ordning för $\zeta _{n}$ :

$\zeta _{m\cdot n}(\xi ,\epsilon )=\zeta _{m}\left(\xi ,{\sqrt {{\frac {1}{\zeta _{n}^{2}(L_{m},\epsilon )}}-1}}\right)$

där ${\displaystyle L_{m}=R_{m}(\xi,\xi$ .

Minsta Q-faktor elliptiska filter

De normaliserade Q-faktorerna för polerna i ett elliptiskt filter av 8:e ordningen med ξ = 1,1 som en funktion av rippelfaktorn ε . Varje kurva representerar fyra poler, eftersom komplexa konjugerade polpar och positivt-negativa polpar har samma Q-faktor. (De blå och cyan kurvorna sammanfaller nästan). Q-faktorn för alla poler minimeras samtidigt vid ε _Qmin = 1 / √ L _n = 0,02323...

Se Lutovac & et al. (2001 , § 12.11, 13.14).

Elliptiska filter specificeras i allmänhet genom att kräva ett speciellt värde för passbandsrippeln, stoppbandsrippeln och skärpan på cutoff. Detta kommer i allmänhet att specificera ett minimivärde för filterordningen som måste användas. Ett annat konstruktionsövervägande är förstärkningsfunktionens känslighet för värdena för de elektroniska komponenterna som används för att bygga filtret. Denna känslighet är omvänt proportionell mot kvalitetsfaktorn ( Q-faktor ) för polerna för filtrets överföringsfunktion. Q-faktorn för en pol definieras som:

$Q=-{\frac {|s_{pm}|}{2\mathrm {Re} (s_{ pm})}}=-{\frac {1}{2\cos(\arg(s_{pm}))}}$

och är ett mått på polens inverkan på förstärkningsfunktionen. För ett elliptiskt filter händer det att det för en given ordning finns ett samband mellan rippelfaktorn och selektivitetsfaktorn som samtidigt minimerar Q-faktorn för alla poler i överföringsfunktionen:

$\epsilon _{Qmin}={\frac {1}{\sqrt {L_{n}(\xi )}}}$

Detta resulterar i ett filter som är maximalt okänsligt för komponentvariationer, men förmågan att självständigt specificera passbandet och stoppbandsrippeln kommer att gå förlorad. För sådana filter, när ordningen ökar, kommer rippeln i båda banden att minska och cutoff-hastigheten kommer att öka. Om man bestämmer sig för att använda ett minimum-Q elliptiskt filter för att uppnå en viss minsta rippel i filterbanden tillsammans med en viss cutoff-hastighet, kommer den ordning som behövs i allmänhet att vara större än den ordning man annars skulle behöva utan minimum-Q restriktion. En bild av förstärkningens absoluta värde kommer att likna bilden i föregående avsnitt, förutom att polerna är arrangerade i en cirkel snarare än en ellips. De kommer inte att vara jämnt fördelade och det kommer att finnas nollor på ω-axeln, till skillnad från Butterworth-filtret , vars poler är arrangerade i en jämnt fördelad cirkel utan nollor.

Jämförelse med andra linjära filter

Här är en bild som visar det elliptiska filtret bredvid andra vanliga typer av filter erhållna med samma antal koefficienter:

Som framgår av bilden är elliptiska filter skarpare än alla andra, men de visar krusningar på hela bandbredden.

•   Daniels, Richard W. (1974). Approximationsmetoder för elektronisk filterdesign . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-015308-6 .
•   Lutovac, Miroslav D.; Tosic, Dejan V.; Evans, Brian L. (2001). Filterdesign för signalbehandling med MATLAB och Mathematica . New Jersey, USA: Prentice Hall. ISBN 0-201-36130-2 .