Effektiv potential

Den effektiva potentialen (även känd som effektiv potentiell energi ) kombinerar flera, kanske motsatta, effekter till en enda potential. I sin grundläggande form är det summan av den "motstående" centrifugala potentiella energin med den potentiella energin i ett dynamiskt system . Det kan användas för att bestämma planeternas banor (både Newtonska och relativistiska ) och för att utföra halvklassiska atomära beräkningar, och tillåter ofta att problem reduceras till färre dimensioner .

Definition

Effektiv potential. E > 0: hyperbolisk bana (A ₁ som pericenter), E = 0: parabolisk bana (A ₂ som pericentrum), E < 0: elliptisk bana ( A ₃ som pericentrum, A ₃ ' som apocenter), E = E _min : cirkulär bana ( A ₄ som radie). Punkterna A ₁ , ..., A ₄ kallas vändpunkter.

Den grundläggande formen av potentiell $U_{\text{eff}}$ definieras som:

$$U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )={\frac {L^{2}}{2\ mu r^{2}}}+U(\mathbf {r} ),$$

var

• L är rörelsemängden
• r är avståndet mellan de två massorna
• μ är den reducerade massan av de två kropparna (ungefär lika med massan av den kretsande kroppen om en massa är mycket större än den andra); och
• U ( r ) är den allmänna formen av potentialen .

Den effektiva kraften är alltså den negativa gradienten för den effektiva potentialen:

$${\begin{aligned}\mathbf {F} _{\text{eff}}&=-\ nabla U_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\\&={\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}{\hat {\mathbf {r} } }-\nabla U(\mathbf {r} )\end{aligned}}$$

där ${\hat {\mathbf {r} }}$ anger en enhetsvektor i radiell riktning.

Viktiga egenskaper

Det finns många användbara funktioner för den effektiva potentialen, som t.ex

$$U_{\text{eff}}\leq E.$$

För att hitta radien för en cirkulär bana, minimera helt enkelt den effektiva potentialen med avseende på ${\displaystyle r},$ eller ställ in nettokraften till noll och lös sedan för $r_{0}$ :

$${\frac {dU_{\text{eff}}}{dr}}=0$$

Efter att ha löst för $r_{0}$ kopplar du tillbaka detta till $U_{\text{eff}}$ för att hitta det maximala värdet för den effektiva potentialen $U_{\text {eff}}^{\text{max}}$ .

En cirkulär bana kan vara antingen stabil eller instabil. Om den är instabil kan en liten störning destabilisera omloppsbanan, men en stabil omloppsbana skulle återgå till jämvikt. För att bestämma stabiliteten för en cirkulär bana, bestäm konkaviteten för den effektiva potentialen. Om konkaviteten är positiv är omloppsbanan stabil:

$${\frac {d^{2}U_{\text{eff}}}{dr^{2}}}>0$$

Frekvensen av små svängningar, med hjälp av grundläggande Hamiltonsk analys, är

$$\omega ={\sqrt {\frac {U_{\text{eff}}''}{m}}},$$

där det dubbla primtal indikerar andraderivatan av den effektiva potentialen med avseende på $r$ och den utvärderas som ett minimum.

Gravitationspotential

Komponenter av den effektiva potentialen för två roterande kroppar: (överst) de kombinerade gravitationspotentialerna; (btm) de kombinerade gravitations- och rotationspotentialerna

Visualisering av den effektiva potentialen i ett plan som innehåller omloppsbanan (grå gummiduksmodell med lila konturer med lika potential), lagrangepunkterna ( röda ) och en planet (blå) som kretsar kring en stjärna (gul)

Betrakta en partikel med massan m som kretsar kring ett mycket tyngre föremål med massan M . Antag Newtonsk mekanik , som är både klassisk och icke-relativistisk. Bevarandet av energi och rörelsemängd ger två konstanter E och L , som har värden

$$E={\frac {1}{2}}m\left({\dot {r}}^{ 2}+r^{2}{\dot {\phi }}^{2}\right)-{\frac {GmM}{r}},$$

$$L=mr^{2}{\dot {\phi }}$$

när den större massans rörelse är försumbar. I dessa uttryck,

• ${\dot {r}}$ är derivatan av r med avseende på tid,
• ${\dot {\phi }}$ är vinkelhastigheten för massan m ,
• G är gravitationskonstanten ,
• E är den totala energin, och
• L är rörelsemängden .

Endast två variabler behövs, eftersom rörelsen sker i ett plan. Att ersätta det andra uttrycket med det första och arrangera om ger

$$\displaystyle m{\dot {r}}^ {2}=2E-{\frac {L^{2}}{mr^{2}}}+{\frac {2GmM}{r}}=2E-{\frac {1}{r^{2} }}\left({\frac {L^{2}}{m}}-2GmMr\right),}$$

$${\frac {1}{2}}m{\dot {r}}^{2}=E-U_{\text{eff} }(r),$$

var

$$U_{\text{eff}}(r)={\frac {L^{2}}{2mr^{2}}} -{\frac {GmM}{r}}$$

är den effektiva potentialen. Det ursprungliga problemet med två variabler har reducerats till ett problem med en variabel. För många tillämpningar kan den effektiva potentialen behandlas exakt som den potentiella energin i ett endimensionellt system: till exempel bestämmer ett energidiagram som använder den effektiva potentialen vändpunkter och platser för stabila och instabila jämvikter . En liknande metod kan användas i andra tillämpningar, till exempel bestämning av banor i en generell relativistisk Schwarzschild-metrik .

Effektiva potentialer används i stor utsträckning i olika underfält för kondenserad materia, t.ex. Gauss-kärnpotentialen (Likos 2002, Baeurle 2004) och den screenade Coulomb-potentialen (Likos 2001).

Se även

• Geopotential

Vidare läsning

•   José, JV; Saletan, EJ (1998). Classical Dynamics: A Contemporary Approach (1:a upplagan). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0 . .
• Likos, CN; Rosenfeldt, S.; Dingenouts, N.; Ballauff, M .; Lindner, P.; Werner, N.; Vögtle, F.; et al. (2002). "Gaussisk effektiv interaktion mellan flexibla dendrimerer av fjärde generationen: en teoretisk och experimentell studie" . J. Chem. Phys . 117 (4): 1869–1877. Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi : 10.1063/1.1486209 . Arkiverad från originalet 2011-07-19.

• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). "Modellering av effektiva interaktioner mellan micellära aggregat av joniska ytaktiva ämnen med Gauss-Core-potentialen". J. Math. Chem . 36 (4): 409–421. doi : 10.1023/B:JOMC.0000044526.22457.bb .

•   Likos, CN (2001). "Effektiva interaktioner i mjuk kondenserad materiens fysik". Fysiska rapporter . 348 (4–5): 267–439. Bibcode : 2001PhR...348..267L . CiteSeerX 10.1.1.473.7668 . doi : 10.1016/S0370-1573(00)00141-1 .