Distributiv kategori

I matematik är en kategori distributiv om den har ändliga produkter och ändliga biprodukter och så att för varje val av objekt $A,B,C$ , den kanoniska kartan

[{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\! \times \!(B+C)

är en isomorfism , och för alla objekt ${\displaystyle A} är$ den kanoniska kartan $0\to A\times 0$ en isomorfism (där 0 betecknar det initiala objektet ). På motsvarande sätt, om för varje objekt $A$ endofunctor $A\times -$ definierad av $B\mapsto A\times B$ bevarar samprodukter upp till isomorfismer $f$ . Det följer att $f$ och ovannämnda kanoniska kartor är lika för varje val av objekt.

I synnerhet, om funktionatorn $A\times -$ har en högeradjoint ( dvs. om kategorin är kartesisk stängd ), bevarar den nödvändigtvis alla kogränser , och därmed alla kartesiska slutna kategorier med ändliga samprodukter (dvs. varje bikartesisk sluten kategori ) är distributiv.

Exempel

Kategorin av uppsättningar är distributiv. Låt A , B och C vara mängder . Sedan

{\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\ i A{\text{ och }}d\i B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ och }}d\in B\}\ amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ och }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned} }

där $\amalg$ betecknar samprodukten i Set , nämligen den disjunkta föreningen , och $\cong$ betecknar en bijektion . I det fall där A , B och C är ändliga mängder , återspeglar detta resultat den fördelande egenskapen : ovanstående mängder har var och en kardinalitet $|A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|$ .

Kategorierna Grp och Ab är inte distribuerande, trots att de har både produkter och biprodukter.

En ännu enklare kategori som har både produkter och biprodukter men inte är distribuerande är kategorin spetsiga set .

Vidare läsning

Cockett, JRB (1993). "Introduktion till distributionskategorier" . Matematiska strukturer i datavetenskap . 3 (3): 277–307. doi : 10.1017/S0960129500000232 .
Carboni, Aurelio (1993). "Introduktion till omfattande och distribuerande kategorier" . Journal of Pure and Applied Algebra . 84 (2): 145–158. doi : 10.1016/0022-4049(93)90035-R .