Dispersionslös ekvation

Dispersionslösa (eller kvasiklassiska) gränser för integrerbara partiella differentialekvationer (PDE) uppstår i olika problem inom matematik och fysik och har studerats intensivt i nyare litteratur (se t.ex. referenser nedan). De uppstår vanligtvis när man överväger långsamt modulerade långa vågor av ett integrerbart dispersivt PDE-system.

Exempel

Dispersionsfri KP-ekvation

Den dispersionslösa Kadomtsev–Petviashvili-ekvationen (dKPE), även känd (upp till en oväsentlig linjär förändring av variabler) som Khokhlov–Zabolotskaya-ekvationen , har formen

$(u_{t}+uu_{x})_{x}+u_{yy}=0,\qquad (1)$

Det uppstår från kommuteringen

$[L_{1},L_{2}]=0.\qquad (2)$

av följande par av 1-parameterfamiljer av vektorfält

$L_{1}=\partial _{y}+\lambda \partial _{x}-u_{x}\partial _ {\lambda },\qquad (3a)$

$L_{2}= \partial _{t}+(\lambda ^{2}+u)\partial _{x}+(-\lambda u_{x}+u_{y})\partial _{\lambda },\qquad (3b )$

där $\lambda$ är en spektralparameter. dKPE är den $x$ -spridningsfria gränsen för den berömda Kadomtsev–Petviashvili-ekvationen, som uppstår när man betraktar långa vågor av det systemet. dKPE, liksom många andra (2+1)-dimensionella integrerbara dispersionsfria system, medger en (3+1)-dimensionell generalisering.

Benneys momentekvationer

Det dispersionsfria KP-systemet är nära besläktat med Benney- momenthierarkin, som vart och ett är ett dispersionsfritt integrerbart system:

$A_{t_{2}}^{n}+A_{x}^{n+1}+nA^{ n-1}A_{x}^{0}=0.$

Dessa uppstår som konsistensvillkoret mellan

$\lambda =p+\sum _{n=0}^{\infty }A^{n}/p^{n+1},$

och de två enklaste utvecklingen i hierarkin är:

$p_{t_{2}}+pp_{x}+A_{x}^{0}=0,$

$p_{t_{3}}+p^{2}p_{x}+(pA^{0}+A^{1})_{x}=0,$

dKP återställs vid inställning

$u=A^{0},$

och eliminera de andra momenten, samt identifiera $y=t_{2}$ och $t=t_{3}$ .

Om man sätter $A^{n}=hv^{n}$ , så att de oräkneligt många momenten $A^{n}$ uttrycks i termer av bara två funktioner , resulterar de klassiska gruntvattenekvationerna :

$h_{y}+(hv)_{x}=0,$

$v_{y}+vv_ {x}+h_{x}=0.$

Dessa kan också härledas från att överväga långsamt modulerade vågtågslösningar av den olinjära Schrodinger-ekvationen . Sådana "reduktioner", som uttrycker momenten i termer av ändligt många beroende variabler, beskrivs av Gibbons-Tsarev-ekvationen .

Dispersionslös Korteweg–de Vries ekvation

Den dispersionslösa Korteweg–de Vries-ekvationen (dKdVE) lyder som

$u_{t_{3}}=uu_{x}.\qquad (4)$

Det är den dispersionsfria eller kvasiklassiska gränsen för Korteweg–de Vries-ekvationen . Det är uppfyllt av $t_{2}$ -oberoende lösningar av dKP-systemet. Det kan också erhållas från $t_{3}$ -flödet i Benney-hierarkin vid inställning

$\lambda ^{2}=p^{2}+2A^{0}.$

Dispersionslös Novikov–Veselov ekvation

Den dispersionslösa Novikov-Veselov-ekvationen skrivs oftast som följande ekvation för en funktion med verkligt värde $v=v(x_{1},x_{2},t )$ :

${\begin{aligned}&\partial _{t}v=\ partiell _{z}(vw)+\partial _{\bar {z}}(v{\bar {w}}),\\&\partial _{\bar {z}}w=-3\partial _ {z}v,\end{aligned}}$

där följande standardnotation för komplex analys används: $\partial _{z}={\frac {1}{2}}(\partial _ {x_{1}}-i\partial _{x_{2}})$ , $\partial _{\bar {z}}= {\frac {1}{2}}(\partial _{x_{1}}+i\partial _{x_{2}})$ . Funktionen $w$ här är en hjälpfunktion, definierad unikt från $v$ upp till en holomorf summering.

Flerdimensionella integrerbara dispersionsfria system

Se för system med kontakt Lax-par och t.ex. och referenser däri för andra system.

Se även

• Integrerbara system
• Icke-linjär Schrödinger-ekvation
• Icke-linjära system
• Davey–Stewartsons ekvation
• Dispersiv partiell differentialekvation
• Kadomtsev–Petviasjvili ekvation
• Korteweg–de Vries ekvation

• Kodama Y., Gibbons J. "Integrability of the dispersionless KP hierarchy", Nonlinear World 1, (1990).
• Zakharov VE "Dispersionless limit of integrable systems in 2+1 dimensions", Singular Limits of Dispersive Waves, NATO ASI-serien, Volym 320, 165-174, (1994).
•   Takasaki, Kanehisa; Takebe, Takashi (1995). "Integrerbara hierarkier och spridningsfri gräns". Recensioner i matematisk fysik . 07 (5): 743–808. arXiv : hep-th/9405096 . Bibcode : 1995RvMaP...7..743T . doi : 10.1142/S0129055X9500030X . S2CID 17351327 .
•   Konopelchenko, BG (2007). "Kvasiklassisk generaliserad Weierstrass-representation och dispersionsfri DS-ekvation". Journal of Physics A: Matematisk och teoretisk . 40 (46): F995–F1004. arXiv : 0709.4148 . doi : 10.1088/1751-8113/40/46/F03 . S2CID 18451590 .
•   Konopelchenko, BG; Moro, A. (2004). "Integrerbara ekvationer i icke-linjär geometrisk optik". Studier i tillämpad matematik . 113 (4): 325–352. arXiv : nlin/0403051 . Bibcode : 2004nlin......3051K . doi : 10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x . S2CID 17611812 .
•   Dunajski, Maciej (2008). "Ett interpolerande dispersionsfritt integrerbart system". Journal of Physics A: Matematisk och teoretisk . 41 (31): 315202. arXiv : 0804.1234 . Bibcode : 2008JPhA...41E5202D . doi : 10.1088/1751-8113/41/31/315202 . S2CID 15695718 .
• Dunajski M. "Solitons, instantons and twistors", Oxford University Press, 2010.
•   Sergyeyev, A. (2018). "Nya integrerbara (3+1)-dimensionella system och kontaktgeometri". Bokstäver i matematisk fysik . 108 (2): 359–376. arXiv : 1401.2122 . Bibcode : 2018LMaPh.108..359S . doi : 10.1007/s11005-017-1013-4 . S2CID 119159629 .
• Takebe T. "Lectures on Dispersionless Integrable Hierarchies", 2014,

https://rikkyo.repo.nii.ac.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=repository_action_common_download&item_id=9046&item_no=1&attribute_id=22&file_no=1&page_id=13&block_id=49

externa länkar

• Ishimori_system på wikin för dispersiva ekvationer