Gibbons-Tsarev ekvation

Gibbons -Tsarev-ekvationen är en integrerbar andra ordningens icke-linjär partiell differentialekvation . I sin enklaste form, i två dimensioner, kan det skrivas på följande sätt:

$u_{t}u_{xt}-u_{x}u_{tt}+u_{xx}+1=0 \qquad (1)$

Ekvationen uppstår i teorin om dispersionslösa integrerbara system , som villkoret att lösningar av Benneys momentekvationer kan parametriseras av endast ändligt många av deras beroende variabler, i detta fall 2 av dem. Det introducerades först av John Gibbons och Serguei Tsarev 1996. Detta system härleddes också, som ett villkor för att två kvadratiska Hamiltonianer skulle ha försvinnande Poisson-parentes .

Förhållande till familjer av spaltkartor

Teorin för denna ekvation utvecklades senare av Gibbons och Tsarev. I $N$ oberoende variabler letar man efter lösningar av Benney-hierarkin där endast $N$ av momenten $A^{n}$ är oberoende. Det resulterande systemet kan alltid sättas i Riemann invariant form. Om de karakteristiska hastigheterna är $p_{i}$ och de motsvarande Riemann-invarianterna är $\lambda _{i}$ , är de relaterade till det nollte momentet $A^{ 0}$ av:

${\frac {\partial p_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=- {\frac {\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{j}}}{p_{i}-p_{j}}},\qquad (2a)$

${\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{i}\partial \lambda _{j}}}=2{\frac {{\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{i}}}{\frac {\partial A^{0}}{\lambda _{j}}}}{(p_{i}-p_{j} )^{2}}}.\qquad (2b)$

Båda dessa ekvationer gäller för alla par $i\neq j$ .

Detta system har lösningar parametriserade av N funktioner av en enda variabel. En klass av dessa kan konstrueras i termer av N-parameterfamiljer av konforma kartor från en fast domän D, normalt det komplexa halva $p$ -planet, till en liknande domän i $\lambda$ - plan men med N slitsar. Varje slits tas längs en fast kurva med en ände fixerad på gränsen för $D$ och en variabel slutpunkt $\lambda _{i}$ ; förbilden av $\lambda _{i}$ är $p_{i}$ . Systemet kan då förstås som konsistensvillkoret mellan uppsättningen av N Loewner-ekvationer som beskriver tillväxten av varje slits:

${\frac {\partial p}{\partial \lambda _{i}}}=-{\frac {\frac {\partial A^{0}}{\partial \lambda _{j }}}{p-p_{i}}}.\qquad (3)$

Analytisk lösning

En elementär familj av lösningar på det N-dimensionella problemet kan härledas genom att ställa in:

$\lambda ^{N+1}=\prod _{i=0}^{N}(p-q_{i}),$

där de verkliga parametrarna $q_{i}$ uppfyller:

$\sum _{i=0}^{N}q_{i}=0.$

Polynomet på höger sida har N vändpunkter, $p=p_{i}$ , med motsvarande $\lambda =\lambda _{i$ } . Med

$A^{0}={\frac {1}{N+1}}\summa \sum _{i>j}q_{i }q_{j},$

p $p_{i}$ och ${\displaystyle A^{0}} uppfyller de$ -dimensionella Gibbons–Tsarev-ekvationerna.