Dinis teorem

Inom det matematiska analysområdet säger Dinis teorem att om en monoton sekvens av kontinuerliga funktioner konvergerar punktvis på ett kompakt utrymme och om gränsfunktionen också är kontinuerlig, så är konvergensen enhetlig .

Formellt uttalande

Om $X$ är ett kompakt topologiskt utrymme , och $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är en monotont ökande sekvens (vilket betyder $f_{n}(x)\leq f_{n+1}(x)$ för alla $n\in \mathbb {N}$ och $x\in X$ ) av kontinuerliga verkliga funktioner på $X$ som konvergerar punktvis till en kontinuerlig funktion $f\colon X\to \mathbb {R}$ , då är konvergensen enhetlig . Samma slutsats gäller om $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är monotont minskande istället för att öka. Satsen är uppkallad efter Ulisse Dini .

Detta är en av få situationer inom matematiken där punktvis konvergens innebär enhetlig konvergens; nyckeln är den större kontrollen som monotoniteten innebär. Gränsfunktionen måste vara kontinuerlig, eftersom en enhetlig gräns för kontinuerliga funktioner nödvändigtvis är kontinuerlig.

Bevis

Låt $\varepsilon >0$ ges. För varje $n\in \mathbb {N}$ , låt ${\displaystyle g_{n}=f-f_{n}} ,$ och låt $E_ {n}$ vara mängden av dessa $x\in X$ så att $g_{n}(x)<\varepsilon$ . Varje $g_{n}$ är kontinuerlig, så varje $E_{n}$ är öppen (eftersom varje $E_{n}$ är förbilden av den öppna uppsättningen $(-\infty ,\varepsilon )$ under $g_{n}$ , en kontinuerlig funktion). Eftersom $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ökar monotont, $(g_{n})_ {n\in \mathbb {N} }$ är monotont avtagande, det följer att sekvensen $E_{n}$ är stigande (dvs $E_{n}\subset E_{n+1}$ för alla ${\displaystyle n\in \mathbb {N} } )$ . Eftersom $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergerar punktvis till $f$ , följer det att samlingen $(E_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ är ett öppet omslag till $X$ . Genom kompakthet finns det ett ändligt undertäcke, och eftersom $E_{n}$ stiger är den största av dessa också ett hölje. Således får vi att det finns något positivt heltal $N$ så att $E_{N}=X$ . Det vill säga, om $n>N$ och $x$ är en punkt i $X$ , då ${\displaystyle |f(x)-f_{n}(x)|<\varepsilon } ,$ enligt önskemål.

Anteckningar

• Bartle, Robert G. och Sherbert Donald R. (2000) "Introduktion till verklig analys, tredje upplagan" Wiley. s 238. – Presenterar ett bevis med hjälp av mätare.
•   Edwards, Charles Henry (1994) [1973]. Avancerad beräkning av flera variabler . Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68336-2 .
•   Graves, Lawrence Murray (2009) [1946]. Funktionsteorin för reella variabler . Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47434-2 .
•   Friedman, Avner (2007) [1971]. Avancerad kalkyl . Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45795-6 .
• Jost, Jürgen (2005) Postmodern Analysis, tredje upplagan, Springer. Se sats 12.1 på sidan 157 för det monotont ökande fallet.

• Rudin, Walter R. (1976) Principles of Mathematical Analysis, tredje upplagan, McGraw–Hill. Se sats 7.13 på sidan 150 för det monotona minskande fallet.
•   Thomson, Brian S.; Bruckner, Judith B.; Bruckner, Andrew M. (2008) [2001]. Elementär verklig analys . ClassicalRealAnalysis.com. ISBN 978-1-4348-4367-8 .