Dickman funktion

Dickman–de Bruijn-funktionen ρ ( u ) ritad på en logaritmisk skala. Den horisontella axeln är argumentet u , och den vertikala axeln är värdet på funktionen. Grafen gör nästan en nedåtgående linje på den logaritmiska skalan, vilket visar att logaritmen för funktionen är kvasilinjär .

I analytisk talteori är Dickman -funktionen eller Dickman–de Bruijn-funktionen ρ en speciell funktion som används för att uppskatta andelen jämna tal upp till en given gräns. Det studerades först av aktuarien Karl Dickman, som definierade det i sin enda matematiska publikation, som inte är lättillgänglig, och studerades senare av den holländska matematikern Nicolaas Govert de Bruijn .

Definition

Dickman–de Bruijn-funktionen $\rho (u)$ är en kontinuerlig funktion som uppfyller fördröjningsdifferentialekvationen

$u\rho '(u)+\rho (u-1)=0\,$

med initiala villkor $\rho (u)=1$ för 0 ≤ u ≤ 1.

Egenskaper

Dickman bevisade att när $a$ är fixerad så har vi det

$\Psi (x,x^{1/a})\sim x\rho (a)\,$

där $\Psi (x,y)$ är antalet y - jämna (eller y - spröda ) heltal under x .

$x\ rho (a)$ rigoröst bevis på att för fixerad a , $\Psi (x,x^{1/a})$ var asymptotisk till , med felet bundet

$\Psi (x,x^{1/a})=x\rho (a)+O( x/\log x)$

i stor O-notation .

Ansökningar

Den Dickman–de Bruijn som används för att beräkna sannolikheten att den största och 2:a största faktorn av x är mindre än x^a

Huvudsyftet med Dickman–de Bruijn-funktionen är att uppskatta frekvensen av jämna tal vid en given storlek. Detta kan användas för att optimera olika talteoretiska algoritmer såsom P-1 factoring och kan vara användbart i sig.

Det kan visas med $\log \rho$ att

$\Psi (x,y)=xu^{O(-u)}$

vilket är relaterat till skattningen $\rho (u)\approx u^{-u}$ nedan.

Golomb –Dickman-konstanten har en alternativ definition i termer av Dickman–de Bruijn-funktionen.

Uppskattning

En första approximation kan vara $\rho (u)\approx u^{-u}.\,$ En bättre uppskattning är

$\rho (u)\sim {\frac {1}{\xi {\sqrt {2\pi u}}}}\cdot \exp(-u\xi +\operatörsnamn {Ei} (\xi ))$

där Ei är exponentialintegralen och ξ är den positiva roten till

$e^{\xi}-1=u\xi .\,$

En enkel övre gräns är $\rho (x)\leq 1/x!.$

$u$	$\rho (u)$
1	1
2	3,0685282 × 10 −1
3	4,8608388 × 10 −2
4	4,9109256 × 10 −3
5	3,5472470 × 10 −4
6	1,9649696 × 10 −5
7	8,7456700 × 10 −7
8	3,2320693 × 10 −8
9	1,0162483 × 10 −9
10	2,7701718 × 10 −11

Beräkning

För varje intervall [ n − 1, n ] med n ett heltal finns det en analytisk funktion $\rho _{n}$ så att $\rho _ {n}(u)=\rho (u)$ . För 0 ≤ u ≤ 1, $\rho (u)=1$ . För 1 ≤ u ≤ 2, $\rho (u)=1-\log u$ . För 2 ≤ u ≤ 3,

$\rho (u)=1-(1-\log(u-1))\log(u)+\operatörsnamn {Li} _{2}(1-u)+{\frac {\pi ^ {2}}{12}}.$

med Li ₂ dilogaritmen . Andra $\rho _{n}$ kan beräknas med hjälp av oändliga serier.

En alternativ metod är att beräkna nedre och övre gränser med trapetsregeln ; ett nät av allt finare storlekar möjliggör godtycklig noggrannhet. För högprecisionsberäkningar (hundratals siffror) är en rekursiv serieexpansion kring intervallens mittpunkter överlägsen.

Förlängning

Friedlander definierar en tvådimensionell analog $\sigma (u,v)$ av $\rho (u)$ . Denna funktion används för att uppskatta en funktion $\Psi (x,y,z)$ liknande de Bruijns, men räknar antalet y -släta heltal med högst en primfaktor större än z . Sedan

$\Psi (x,x^{1/a},x^{1/b})\sim x\sigma (b,a).\,$

Se även

• Buchstab - funktion , en funktion som används på liknande sätt för att uppskatta antalet grova tal , vars konvergens till $e^{-\gamma }$ styrs av Dickman-funktionen
• Golomb–Dickman konstant

Vidare läsning

• Broadhurst, David (2010). "Dickman polylogaritmer och deras konstanter". arXiv : 1004.0519 [ math-ph ].
•    Soundararajan, Kannan (2012). "En asymptotisk expansion relaterad till Dickman-funktionen". Ramanujan Journal . 29 (1–3): 25–30. arXiv : 1005.3494 . doi : 10.1007/s11139-011-9304-3 . MR 2994087 . S2CID 119564455 .
• Weisstein, Eric W. "Dickman-funktion" . MathWorld .