Buchstab funktion

Graf över Buchstab-funktionen ω ( u ) från u = 1 till u = 4.

Buchstab -funktionen (eller Buchstabs funktion ) är den unika kontinuerliga funktionen $\omega :\mathbb {R} _{\geq 1}\rightarrow \mathbb {R} _{>0}$ definieras av fördröjningsdifferentialekvationen

$\omega (u)={\frac {1}{u}},\qquad \qquad \qquad 1\leq u\leq 2,$

${\frac {d}{du}}(u\omega (u))=\omega (u-1) ,\qquad u\geq 2.$

I den andra ekvationen ska derivatan vid u = 2 tas när u närmar sig 2 från höger. Den är uppkallad efter Alexander Buchstab , som skrev om den 1937.

Asymptotika

Buchstab-funktionen närmar sig $e^{-\gamma }\approx 0,561$ snabbt som $u\to \infty ,$ där $\gamma$ är Euler –Mascheroni konstant . Faktiskt,

$|\omega (u)-e^{-\gamma }|\leq {\frac {\rho (u-1)}{u}}, \qquad u\geq 1,$

där ρ är Dickman-funktionen . Dessutom $\omega (u)-e^{-\gamma }$ på ett regelbundet sätt, alternerande mellan extrema och nollor; extrema växlar mellan positiva maxima och negativa minima. Intervallet mellan på varandra följande extrema närmar sig 1 när u närmar sig oändligheten, liksom intervallet mellan på varandra följande nollor.

Ansökningar

Buchstab-funktionen används för att räkna grova tal . Om Φ( x , y ) är antalet positiva heltal mindre än eller lika med x utan primtalsfaktor mindre än y , då för alla fasta u > 1,

$\Phi (x,x^{1/u})\sim \omega (u){\frac {x}{\log x^{1/u}}},\qquad x\to \infty .$

Anteckningar

•   Бухштаб, А. А. (1937), "Асимптотическая оценка одной общей теоретикочисловой функции" [ Asymptotisk uppskattning av en allmän talteoretisk funktion], Matematheskii sbornik ): (412, 9, 6, 41, 2, 41, 9) 018.24504
• "Buchstab Function" , Wolfram MathWorld . Tillgänglig på nätet 11 februari 2015.
•   §IV.32, "Om Φ(x,y) och Buchstabs funktion", Handbook of Number Theory I , József Sándor, Dragoslav S. Mitrinović och Borislav Crstici, Springer , 2006, ISBN 978-1-4020-4215-7 .
• "En differentialfördröjningsekvation som härrör från sikten av Eratosthenes", AY Cheer och DA Goldston, Mathematics of Computation 55 (1990), s. 129–141.
• "En förbättring av Selbergs siktmetod", WB Jurkat och H.-E. Richert, Acta Arithmetica 11 (1965), s. 217–240.
• Hildebrand, A. (2001) [1994], "Bukhstab function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press