Derjaguin approximation

Derjaguin approximation relaterade kraften mellan två sfärer (överst) och interaktionsenergin mellan två plattor (botten).

Derjaguin -approximationen (eller ibland också kallad närhetsapproximationen ), uppkallad efter den ryske vetenskapsmannen Boris Derjaguin , uttrycker kraftprofilen som verkar mellan kroppar med ändlig storlek i termer av kraftprofilen mellan två plana halvoändliga väggar. Denna approximation används ofta för att uppskatta krafter mellan kolloidala partiklar , eftersom krafter mellan två plana kroppar ofta är mycket lättare att beräkna. Derjaguin-approximationen uttrycker kraften F ( h ) mellan två kroppar som en funktion av ytseparationen som

F(h)=2\pi R_{\rm {eff}}W(h),

där W ( h ) är interaktionsenergin per ytenhet mellan de två plana väggarna och R _eff den effektiva radien. När de två kropparna är två sfärer med radier R ₁ respektive R ₂ , ges den effektiva radien av

R_{\rm {eff}}^{-1}=R_{1}^{-1}+R_{2}^{-1}.

Experimentella kraftprofiler mellan makroskopiska kroppar mätt med ytkraftsapparaten (SFA) _eller kolloidal sondteknik rapporteras ofta som förhållandet F ( h )/ Reff .

Inblandade kvantiteter och giltighet

Kraften F ( h ) mellan två kroppar är relaterad till interaktionen fri energi U ( h ) as

F(h)=-{dU \over dh},

där h är yta-till-yta-separationen. Omvänt, när kraftprofilen är känd, kan man utvärdera interaktionsenergin som

U(h)=\int _{h}^{\infty }F(h')\,dh'.

När man betraktar två plana väggar uttrycks motsvarande kvantiteter per ytenhet. Det disjunkande trycket är kraften per ytenhet och kan uttryckas med derivatan

\Pi (h)=-{dW \över dh},

där W ( h ) är den fria ytenergin per ytenhet. Omvänt har man

W(h)=\int _{h}^{\infty }\Pi (h')\,dh'.

Den huvudsakliga begränsningen av Derjaguin-approximationen är att den endast är giltig på avstånd som är mycket mindre än storleken på de inblandade objekten, nämligen h ≪ R ₁ och h ≪ R ₂ . Dessutom är det en kontinuumapproximation och gäller alltså på avstånd större än molekyllängdskalan. Även när grova ytor är inblandade har denna approximation visat sig vara giltig i många situationer. Dess giltighetsområde är begränsat till avstånd som är större än den karakteristiska storleken på ytojämnhetsegenskaperna (t.ex. genomsnittlig kvadratisk grovhet).

Speciella fall

Ofta använda geometrier för Derjaguin-approximationen. Två identiska sfärer, en plan vägg och en sfär, och två vinkelrätt korsande cylindrar (vänster till höger).

Ofta betraktade geometrier involverar interaktionen mellan två identiska sfärer med radien R där den effektiva radien blir

R_{\rm {eff}}=R/2.

Vid interaktion mellan en sfär med radie R och en plan yta har man

R_{\rm {eff}}=R.

Ovanstående två relationer kan erhållas som specialfall av uttrycket för R _eff som ges vidare ovan. För situationen med vinkelrätt korsande cylindrar som används i ytkraftsapparaten har man

R_{\rm {eff}}={\sqrt {R_{1}R_{2}}},

där R1 och R2 är krökningsradier för de två involverade _cylindrarna_.

Förenklad härledning

Förklaringar angående härledningen av Derjaguin-approximationen för två identiska sfärer.

Betrakta kraften F ( h ) mellan två identiska sfärer med radien R som en illustration. Ytorna på de två respektive sfärerna tros vara delade i oändliga skivor med bredden dr och radien r som visas i figuren. Kraften ges av summan av motsvarande svälltryck mellan de två skivorna

F=\int \Pi (x)\,dA,

där x är avståndet mellan skivorna och dA arean för en av dessa skivor. Detta avstånd kan uttryckas som x = h +2 y . Genom att betrakta Pythagoras sats på den grå triangeln som visas i figuren har man

R^{2}=(Ry)^{2}+r^{2}.

Om man expanderar detta uttryck och inser att y ≪ R finner man att skivans area kan uttryckas som

dA=2\pi r\,dr=2\pi R\,dy=\pi R\,dx.

Kraften kan nu skrivas som

F(h)=\pi R\int _{h}^{\infty }\Pi (x )\,dx=\pi RW(h),

där W ( h ) är den fria ytenergin per ytenhet införd ovan. När ekvationen ovan introducerades ersattes den övre integrationsgränsen med oändlighet, vilket är ungefär korrekt så länge som h ≪ R .

Allmänt fall

I det allmänna fallet med två konvexa kroppar kan den effektiva radien uttryckas enligt följande

{\frac {1}{R_{\rm {eff}}^{2}}}=\left({\frac {1}{R'_{1}}} +{\frac {1}{R'_{2}}}\right)\left({\frac {1}{R''_{1}}}+{\frac {1}{R''_ {2}}}\right)+\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right)\left( {\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin ^{2}\varphi ,

där R' _i och R" _i är de huvudsakliga krökningsradierna för ytorna i = 1 och 2, utvärderade vid punkter med närmaste inflygningsavstånd, och φ är vinkeln mellan planen som spänns över av cirklarna med mindre krökningsradier. kroppar är icke-sfäriska runt positionen för närmast inflygning, ett vridmoment mellan de två kropparna utvecklas och ges av

T=\pi R_{\rm {eff}}^{3}V(h)\left({\frac {1}{R'_{1}}}-{\frac {1}{R''_{1}}}\right) \left({\frac {1}{R'_{2}}}-{\frac {1}{R''_{2}}}\right)\sin 2\varphi ,

var

V(h)=\int _{h}^{\infty }W(h')\,dh'.

Ovanstående uttryck för två sfärer återvinns genom att sätta R'i ₌ R" _i = R _i . Vridmomentet försvinner i detta fall .

Uttrycket för två vinkelrätt korsande cylindrar erhålls från R' _i = R _i och R" _i → ∞. I detta fall tenderar vridmomentet att orientera cylindrarna vinkelrätt för repulsiva krafter. För attraktionskrafter tenderar vridmomentet att rikta in dem .

Dessa allmänna formler har använts för att utvärdera ungefärliga interaktionskrafter mellan ellipsoider.

Bortom Derjaguins uppskattning

Derjaguin-uppskattningen är unik med tanke på dess enkelhet och generalitet. För att förbättra denna approximation, föreslogs metoden för integrering av ytelement samt tillvägagångssätt för ytintegration för att få mer exakta uttryck av krafterna mellan två kroppar. Dessa procedurer tar också hänsyn till den relativa orienteringen av de närmande ytorna.

Se även

Vidare läsning

Zypman, FR (2006). "Exakta uttryck för kolloidala plan-partikelinteraktionskrafter och energier med tillämpningar på atomkraftsmikroskopi". J. Phys.: Kondens. Materia . 8 (10): 2795–2803. Bibcode : 2006JPCM...18.2795Z . doi : 10.1088/0953-8984/18/10/005 .