Denjoys sats om rotationstal
Inom matematiken ger Denjoy -satsen ett tillräckligt villkor för att en diffeomorfism av cirkeln ska vara topologiskt konjugerad till en diffeomorfism av ett speciellt slag, nämligen en irrationell rotation . Denjoy ( 1932 ) bevisade satsen under sin topologiska klassificering av cirkelns homeomorfismer . Han gav också ett exempel på en C 1 diffeomorfism med ett irrationellt rotationstal som inte är konjugerat till en rotation.
Uttalande av satsen
Låt ƒ : S 1 → S 1 vara en orienteringsbevarande diffeomorfism av cirkeln vars rotationstal θ = ρ ( ƒ ) är irrationellt . Antag att den har positiv derivata ƒ ′ ( x ) > 0 som är en kontinuerlig funktion med begränsad variation på intervallet [0,1). Då ƒ topologiskt konjugerat till den irrationella rotationen med θ . Dessutom är varje omloppsbana tät och varje icke-trivialt intervall I i cirkeln skär dess främre bild ƒ ° q ( I ), för vissa q > 0 (detta betyder att den icke-vandrande uppsättningen av ƒ är hela cirkeln).
Kompletterar
Om ƒ är en C 2 karta, så gäller hypotesen om derivatan; Men för varje irrationellt rotationstal konstruerade Denjoy ett exempel som visar att detta villkor inte kan slappnas av till C 1 , kontinuerlig differentiabilitet av ƒ .
Vladimir Arnold visade att den konjugerande kartan inte behöver vara jämn , även för en analytisk diffeomorfism av cirkeln. Senare visade Michel Herman att den konjugerande kartan av en analytisk diffeomorfism ändå är analytisk för "de flesta" rotationstal, och bildar en uppsättning fullständiga Lebesgue-mått , nämligen för de som är dåligt approximerbara med rationella tal. Hans resultat är ännu mer generella och specificerar differentiabilitetsklass för den konjugerande kartan för C r- diffeomorfismer med någon r ≥ 3.
Se även
- Denjoy, Arnaud (1932), "Sur les courbes definies par les équations différentielles à la surface du tore." , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (på franska), 11 : 333–375, Zbl 0006.30501
- Herman, MR (1979), " Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations " , Publ. Matematik. IHES (på franska), 49 : 5–234, doi : 10.1007/BF02684798 , S2CID 118356096 , Zbl 0448.58019
- Kornfeld, Sinai, Fomin, Ergodisk teori .