De Guas teorem

Tetraeder med ett rätvinkligt hörn i O

Inom matematiken är De Guas sats en tredimensionell analog till Pythagoras sats uppkallad efter Jean Paul de Gua de Malves . Det sägs att om en tetraeder har ett rätvinkligt hörn (som hörnet på en kub ), så är kvadraten på arean på ansiktet mittemot det rätvinkliga hörnet summan av kvadraterna av arean på de andra tre ytorna :

$$A_{ABC}^{2}=A_{\color {blue}ABO}^{2}+A_ {\color {green}ACO}^{2}+A_{\color {red}BCO}^{2}$$

Generaliseringar

Pythagoras sats och de Guas sats är specialfall ( n = 2, 3 ) av en allmän sats om n -simplices med ett rätvinkligt hörn, bevisat av PS Donchian och HSM Coxeter 1935. Detta är i sin tur en speciell fall av en ännu mer allmän sats av Donald R. Conant och William A. Beyer (1974), som kan uttryckas enligt följande.

Låt U vara en mätbar delmängd av ett k -dimensionellt affint delrum av $\mathbb {R} ^{n}$ (så $k\leq n$ ). För varje delmängd $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ med exakt k element, låt $U_{I}$ vara den ortogonala projektionen av U på det linjära spannet av ${\displaystyle e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{k}}} ,$ där $I=\{i_{1},\ldots ,i_{k}\}$ och $e_{1},\ldots ,e_{n}$ är standardbasen för $\mathbb {R} ^{n}$ . Sedan

$$\operatorname {vol} _{k}^{2}(U)=\summa _{I}\operatörsnamn {vol} _{k}^{2}(U_{I}),$$

där $\operatorname {vol} _{k}(U)$ är den k -dimensionella volymen av U och summan är över alla delmängder $I\subseteq \{1,\ldots ,n\}$ med exakt k element.

De Guas sats och dess generalisering (ovan) till n -simplex med rätvinkliga hörn motsvarar specialfallet där k = n −1 och U är ett ( n −1)-simplex i $\mathbb {R } ^{n}$ med hörn på koordinataxlarna . Anta till exempel att n = 3 , k = 2 och U är triangeln $\triangle ABC$ i $\mathbb {R} ^{3}$ med hörn A , B och C ligger på $x_{1}$ -, $x_{2}$ - respektive $x_{3}$ -axlarna. Delmängderna $I$ av $\{1,2,3\}$ med exakt 2 element är $\{2,3\}$ , $\{1,3\}$ och $\{1,2\}$ . Per definition är $U_{\{2,3\}}$ den ortogonala projektionen av $U=\triangle ABC$ på ${ \displaystyle x_{2}x_{3}}$ -plan, så $U_{\{2,3\}}$ är triangeln $\triangle OBC$ med hörn O , B och C , där O är ursprunget till $\mathbb {R} ^{3}$ . På liknande sätt, $U_{\{1,3\}}=\triangle AOC$ och $U_{\{ 1,2\}}=\triangel ABO$ , så säger Conant–Beyers sats

$$\operatorname { vol} _{2}^{2}(\triangel ABC)=\operatörsnamn {vol} _{2}^{2}(\triangel OBC)+\operatörsnamn {vol} _{2}^{2}(\ triangel AOC)+\operatörsnamn {vol} _{2}^{2}(\triangle ABO),$$

vilket är de Guas sats.

Generaliseringen av de Guas sats till n -simplices med rätvinkliga hörn kan också erhållas som ett specialfall från Cayley–Menger determinantformel .

Historia

Jean Paul de Gua de Malves (1713–85) publicerade satsen 1783, men ungefär samtidigt publicerades en lite mer allmän version av en annan fransk matematiker, Charles de Tinseau d'Amondans (1746–1818), också. Men satsen hade också varit känd mycket tidigare för Johann Faulhaber (1580–1635) och René Descartes (1596–1650).

Se även

• Vektorområde och projicerat område
• Bivector

Anteckningar

• Weisstein, Eric W. "de Guas sats" . MathWorld .
• Sergio A. Alvarez: Anteckning om en n-dimensionell Pythagoras sats , Carnegie Mellon University.
• De Guas sats, Pythagoras sats i 3-D — Grafisk illustration och relaterade egenskaper hos tetraedern.

Vidare läsning

•   Kheyfits, Alexander (2004). "Cosinussatsen för pyramider". The College Mathematics Journal . Mathematical Association of America. 35 (5): 385–388. JSTOR 4146849 . Bevis för de Guas teorem och generaliseringar till godtyckliga tetraedrar och till pyramider.
• Lévy-Leblond, Jean-Marc (2020). "Cosinussatsen för pyramider" . Den matematiska intelligensen . SpringerLink. Tillämpning av de Guas teorem för att bevisa ett specialfall av Herons formel .