Davidsstjärnans teorem

Davidsstjärnesatsen (raderna i Pascaltriangeln visas som kolumner här) .

Davidsstjärnesatsen är ett matematiskt resultat på aritmetiska egenskaper hos binomialkoefficienter . Den upptäcktes av Henry W. Gould 1972.

Påstående

De största gemensamma divisorerna för de binomialkoefficienter som bildar var och en av de två trianglarna i Davidsstjärnans form i Pascals triangel är lika:

${\begin{aligned}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k-1}},{\binom {n}{k+1}},{\binom {n+ 1}{k}}\right\}\\[8pt]={}&\gcd \left\{{\binom {n-1}{k}},{\binom {n}{k-1}} ,{\binom {n+1}{k+1}}\right\}.\end{aligned}}$

Exempel

Raderna 8, 9 och 10 i Pascals triangel är

			1		8		28		56		70		56		28		8		1
		1		9		36		84		126		126		84		36		9		1
	1		10		45		120		210		252		210		120		45		10		1

För n =9, k =3 eller n =9, k =6, är elementet 84 omgivet av, i följd, elementen 28, 56, 126, 210, 120, 36. Med alternerande värden har vi gcd(28) , 126, 120) = 2 = gcd(56, 210, 36).

Elementet 36 är omgivet av sekvensen 8, 28, 84, 120, 45, 9, och med alternerande värden har vi gcd(8, 84, 45) = 1 = gcd(28, 120, 9).

Generalisering

Ovanstående största gemensamma divisor $\gcd \left({n-1 \choose k-2},{n-1 \choose k-1},{n-1 \choose k},{n-1 \choose k+1}\ höger).$ Således har vi i exemplet ovan för elementet 84 (i dess utseende längst till höger) också gcd(70, 56, 28, 8) = 2. Detta resultat har i sin tur ytterligare generaliseringar.

Relaterade resultat

De två uppsättningar av tre tal som Davidsstjärnans sats säger har lika stora gemensamma delare har också lika produkter. Till exempel, när vi återigen observerar att elementet 84 är omgivet av, i sekvens, av elementen 28, 56, 126, 210, 120, 36, och återigen med alternerande värden, har vi 28×126×120 = 2 6 ^× 3 ³ × 5×7 ² = 56×210×36. Detta resultat kan bekräftas genom att skriva ut varje binomial koefficient i faktorform, med hjälp av

${a \choose b}={\frac {a!}{(ab)!b!}}.$

Se även

• Lista över faktoriella och binomiska ämnen

• HW Gould, "A New Greatest Common Divisor Property of The Binomial Coefficients", Fibonacci Quarterly 10 (1972), 579–584.
• Davidsstjärnans teorem , från MathForum .
• Davidsstjärnans teorem , blogginlägg.

externa länkar

• Demonstration av Davidsstjärnans teorem, i Mathematica .